คณิตศาสตร์ ม.4 ตรรกศาสตร์-ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ

คณิตศาสตร์ ม.4 ตรรกศาสตร์-ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ คือ สัญลักษณ์หรือข้อความที่เมื่อเราเอาไปเติมใน “ประโยคเปิด” แล้วจะทำให้ประโยคนั้นกลายเป็นประพจน์

ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่ติดค่าตัวแปรที่ยัง “ไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ” โดยตัวแปรนั้นเป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ (Universe : U)

ประโยคเปิด ยังไม่ใช่ประพจน์ (แต่เกือบเป็นแล้ว) เพราะเรายังไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

เช่น  “x มากกว่า 4” จะเห็นว่าตัวแปร คือ x ซึ่งเราไม่รู้ว่า x คืออะไร และมากกว่า 4 จริงไหม ดังนั้น ข้อความนี้ยังไม่เป็นประพจน์

เราจะกำหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดใดๆ

เราสามารถทำประโยคเปิดให้เป็น “ประพจน์” ได้ 2 วิธี คือ

1. นำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แทนค่าตัวแปรลงไป

เช่น x มากกว่า 4 โดยเอกภพสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม

จะเห็นว่า ถ้าเราให้ x เท่ากับ 2 (ซึ่ง 2 เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์) เราจะได้ว่า ประโยค 2 มากกว่า 4 เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยคดังกล่าวจึงเป็นประพจน์

2.) เติม “ตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีอยู่ 2 ชนิด คือ

2.1) ∀x (อ่านว่า for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว” คำที่มีความหมายเดียวกับ ∀x ที่เราเห็นกันบ่อยๆ เช่น สำหรับ x ใดๆ, สำหรับ x แต่ละตัว

2.2) ∃x (อ่านว่า for some x)ใช้แทนคำว่า “มี x บางตัว” คำที่เรามักเจอและมีความหมายเหมือน ∃x เช่น มี x อย่างน้อย 1 ตัว

ตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว
กำหนดให้ U คือ เอกภพสัมพัทธ์
มีทั้งหมด 8 แบบ
1) ∀x∀y[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำแต่ละตัวใน U แทนใน x แล้วสามารถนำทุกตัวใน U แทนใน y แล้วเป็นจริง
2)∀x∃y[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำแต่ละตัวใน U แทนใน x แล้วสามารถนำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้วเป็นจริง
3)∃ x∀y[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วสามารถนำทุกตัวใน U แทนใน y แล้วเป็นจริง
4)∃ x∃y[P(x, y)] เป็น จริง
เมื่อ นำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วสามารถนำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้วเป็นจริง
5) ∀y∀x[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำแต่ละตัวใน U แทนใน y แล้วสามารถนำทุกตัวใน U แทนใน x แล้วเป็นจริง
6)∀ y∃x[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำแต่ละตัวใน U แทนใน y แล้วสามารถนำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วเป็นจริง
7) ∃y∀x[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้วสามารถนำทุกตัวใน U แทนใน x แล้วเป็นจริง
8)∃y∃x[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้วสามารถนำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วเป็นจริง

สูตรนี้ออกสอบบ่อยมาก!!!
∼ ∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼ P(x, y)]
∼ ∃x∃y[P(x, y)] ≡ ∀x∀y[∼ P(x, y)]
∼ ∀x∃y[P(x, y)] ≡ ∃x∀y[∼ P(x, y)]
∼ ∃x∀y[P(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼ P(x, y)]

สิ่งที่น่าสนใจ
∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∀y∀x[P(x, y)]
∃x∃y[P(x, y)] ≡ ∃y∃x[P(x, y)]

-ขอบคุถณข้อมูลบางส่วนจาก https://nockacademy.com/