คณิตศาสตร์ ม.4 – เซต

สัญลักษณ์

{ } แทน เซต

∈ แทน คำว่า” เป็นสมาชิก”

∉ แทนคำว่า “ไม่เป็นสมาชิก”

⊂ แทนคำว่า “สับเซต”

⊄ แทนคำว่า ” ไม่เป็นสับเซต”

การนับจำนวนสมาชิกในเซต

• จำนวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย n(A)
• ถ้าสมาชิกในเซตซ้ำกันให้เขียนเพียงครั้งเดียว

ชนิดของเซต

• เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถบอกได้ว่ามีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว
• เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารถบอกได้ว่ามีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว
• เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกในเซตเลย หรือเขียนแทนด้วย ∅

เอกภพสัมพัทธ์ (U) คือ เซตที่กำหนดขอบเขตสิ่งที่เรากำลังพิจารณา

ความสัมพันธ์ระหว่างเซต

• เซตที่เท่ากัน คือ เซตที่สมาชิกทุกตัวเหมือนกัน ถ้าเซต A เท่ากับเซต B จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A = B
• เซตที่เทียบเท่ากัน คือ เซตที่จำนวนสมาชิกเท่ากัน

สมบัติของสับเซต

1. ถ้า A⊂B และ A ≠ B  จะเรียก A ว่าเป็นสับเซตแท้ของ B
2. ถ้า A เป็นเซตจำกัด จะมีสมาชิก n ตัว แล้ว A มีสับเซตทั้งหมด 2ⁿ สับเซต
3. ถ้า A เป็นเซตจำกัด จะมีสมาชิก n ตัว แล้ว A มีสับเซตแท้ทั้งหมด 2ⁿ -1 สับเซต
4. Φ ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตทุกเซต)
5. A ⊂ A (ตัวเองก็เป็นสับเซตของตัวเอง)
6. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
7. A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ต่อเมื่อ A = B

หมายเหตุ : Φ ( เซตว่าง ) ไม่มีสับเซต

เซตอนันต์

คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย  นับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }

B = {x| x 3,7,11,15,…}

C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต

1.            เซตว่างเป็นเซตจำกัด

2.            การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}

3.   เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป  มีดังนี้

I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}

N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}

P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เซตที่เท่ากัน

เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

ตัวอย่างที่  1    A = {0,1,2 } และ  B = {2,0,1}

ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย  A = B

คัวอย่างที่  2   กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}

จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน

วิธีทำ      A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

จะได้  A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

2.2เอกภพสัมพัทธ์

ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก  จะต้องกำหนดเซตของ  เอกภพสัมพัทธ์  เขียนแทนด้วย U โดยมีข้อตกลงว่า  เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซต จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }

จงเขียนเซต A  แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ           U = {ก,ข,ค,…,ฮ}

ดังนั้น   A = {ก,ข,ค}

ตัวอย่างที่ 2  U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 } จงเขียน B แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ         U = {1,2,3,…}

ดังนั้น       B = {1,2,3,4}

2.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต

เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ  สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย AB เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย AB เช่น

A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้ว่า  A     B แต่ B  A

สมบัติของสับเซต

1.            A  A และ   A

2.            ถ้าAB และ BC แล้วAC

3.            ACและ BC ก็ต่อเมื่อ A = B

เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)

เช่น A= {2,4,6}

จะไดว่า เพาเวอร์เซตของซต A คือ

P(A) = { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตว่าง}

สมบัติของเพาเวอร์เซต

1.        P(A) และ        P(A)

2.A   P(A)

3.ถ้า A เป็นเซตจำกัด n(A)= k  n(P(A))= 2

4.A   B ก็ต่อเมื่อ P(A)      P(B)

5.P(A)   P(B) = P(A   B)

6.P(A)   P(B)    P(A   B)

2.4 ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต

– ยูเนียน (Union) : ยูเนียนของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งมีสมาชิกของเซต A หรือเซต B  หรือทั้งสองเซต

“ ยูเนียนของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A   B ”

A   B = {x| x   A หรือ x เ ป็นสมาชิกของทั้งสองเซต}

เช่น A = {1,3,5} และ B = {3,6,9}

จะได้  A    B ={1,3,5,6,9}

– อินเตอร์เซกชัน (Intersection): อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งสมาชิกเป็นสมาชิกของเซตทั้งเซต A และเซต B

“ อินเตอร์เซกชันของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A    B ”

A    B = {x| x   A และ x   B}

เช่น A = {1,2,3,4,} , B = {2,4,6} และ C = {0,1}

จะได้   A   B = {2,4}

A   C = {1}

            B   C = {}   

– คอมพลีเมนต์ (Complement) : คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซต A ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A

“คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A ”

A = {x| x €  U และ x  €  A }

   เช่น  U ={0,1,2,3} , A ={0,2,4} และ B = {1,3}

จะได้  A = {1,3}

B = {0,2}

– ผลต่างระหว่างเซต  (Difference of Sets ) : ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือสมาชิกอยู่ในเซต B

“ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B ”

A-B ={x| x €  A และ x €   B}

เช่น A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้  A-B = {0,2,4}

B-A = {5,7,9}