คณิตศาสตร์ ม.4

จำนวนจริง

1. ระบบจำนวนจริง และสมบัติของระบบจำนวนจริง
2. พหุนาม
3. การแยกตัวประกอบของพหุนาม
4. สมการพหุนาม
5. อสมการพหุนาม
6. ค่าสัมบูรณ์

ระบบจำนวนจริง

จำนวนจริงคือจำนวนทั้งหมดที่สามารถแสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนั้นตัวเลขเช่น -5, – 6/2, 0, 1, 2 หรือ 3.5 จึงถือเป็นของจริงเนื่องจากสามารถสะท้อนให้เห็นในการแทนค่าตัวเลขที่ต่อเนื่องกันในรูปแบบจินตภาพ ไลน์. อักษรตัวใหญ่ R เป็นสัญลักษณ์ที่แสดงถึงชุดของจำนวนจริง

พิจารณาในรายละเอียดได้ดังนี้

• จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมซ้ำได้ ยกตัวอย่างเช่น√2, √3,√5 หรือค่า¶ เป็นต้น
• จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมซ้ำได้ยกตัวอย่างเช่น 1/2, 1/3, 2/5 เป็นต้น

จากแผนภาพอีกเช่นเคย จะเห็นได้ว่า จำนวนตรรกยะ จะประกอบด้วยสองส่วนคือ จำนวนเต็ม และ จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

• จำนวนเต็ม คือจำนวนที่เป็นตัวเลขเต็มๆ หรือ ตัวเลขที่ไม่มีทศนิยมนั่นเอง นั่นคือ ตัวเลขที่เราใช้นับนั่นเอง ยกตัวอย่างเช่น 1, 2, 3, 4 … ทั้งนี้ทั้งนั้น รวมไปจนถึงค่าที่ติบลบของจำนวนนับนี้และศูนย์ด้วย เช่น 0, -1, -2, -3, -4 ….
• จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ความหมายของจำนวนนี้ก็ตามความหมายของชื่อเลยครับ นั่นคือ ตัวเลขเขียนในรูปของทศนิยมซ้ำได้โดยที่ไม่ได้เป็นเลขจำนวนเต็มนั่นเอง อย่างเช่น 1/2=0.5 หรือ 1/3 = 0.333… (สามซ้ำ)

ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนเต็มยังแบ่งย่อยได้อีกสามหมวดคือ จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มศูนย์

 

ดังนั้น    x² + 2x – 15 = (x-3)(x+5)

พหุนาม คือ อะไร

พหุนาม คือ เอกนามหรือจำนวนที่เขียนอยู่ในรูปการบวก ของเอกนาม ตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป

เอกนามในพหุนาม เรียกว่า พจน์

เช่น 5x³ -4x² + 6   หรือ  5x³ +( -4x² )  + 6

เป็นพหุนาม  
พจน์ที่ 1  คือ   5x³

พจน์ที่ 2  คือ    -4x²

พจน์ที่ 3 คือ    6

การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนพหุนามในรูปการคูณของพหุนาม ซึ่งตัวประกอบแต่ละวงเล็บต้องมีดีกรีน้อยกว่าพหุนามเดิม โดยที่แต่ละวงเล็บที่ได้ไม่สามารถเขียนได้ไม่สามารถเขียนเป็นรูปการคูณต่อไปได้อีกมีวิธีการแยกตัวประกอบ 8 วิธีคือ

1. ดึงตัวร่วมโดยใช้สมบัติการแจกแจง

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

1. 7x + 14x²         2. 7x²y³ + 14x⁴ y²   3. 7(x+y)² + 14(x+y)⁵

วิธีที่ 1    7x + 14x²  = 7x(1+2x)

 วิธีที่ 2     7x + 14x²  = (7x)(1) + (7x)(2x)

      = 7x(1+2x)

(2)   7x²y³ + 14x⁴ y²  = 7x² y² (y+2x)²

(3)   7(x+y)² + 14(x+y)⁵ = 7(x+y)² (1+2(x+y)³)

2. สามพจน์แยกเป็น 2 วงเล็บ

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

1. x² + 8x + 15      2. x² -8x +15

    3. x² + 2x – 15       4. x² – 2x – 15

วิธีทำ  
(1)  x² + 8x + 15  = (x+3)(x+5)

(2) x² -8x +15 = (x-3)(x-5)

(3) x² + 2x – 15 = (x-3)(x+5)

(4) x² – 2x – 15 = (x – 5)(x+3)

ข้อสังเกต

จากข้อ 1 
x² + 8x + 15  = (x+   ) (x+   ) ( ดูจาก 15 และ 8 x)

คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้  15  และ และรวมกันได้  8   จะได้ 3  และ 5

ดังนั้น    x² + 8x + 15 เท่ากับ  (x+3)(x+5)

จากข้อ 2

x² -8x +15          =     (x-     )(x-      )

( ดูจาก 15 และ – 8x ต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และรวมกันได้ 8 จะได้ 3 และ 5)

ดังนั้น    x² -8x +15 = (x-3)(x-5)

จากข้อ 3

x² + 2x – 15 = (x-     )(x+     )  ( ดูจาก – 15)  คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ -15 และต่างกัน 2 จะได้ 3 และ 5 เนื่องจากผลกลางคือ 2x จึงใส่ 5 ไว้ที่บวกและใส่ 3 ไว้ที่ลบ

ดังนั้น    x² + 2x – 15 = (x-3)(x+5)