คณิตศาสตร์ ม.5 เรื่อง ลำดับและอนุกรม

บทนิยาม      ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่  1   เรียกว่า ลำดับ

ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    { 1, 2, 3, …, n }  เรียกว่า    ลำดับจำกัด

และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }  เรียกว่า   ลำดับอนันต์

 ความหมายของลำดับในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

กล่าวคือ  ถ้า a  เป็น ลำดับจำกัด  จะเขียนแทนด้วย   a₁,   a₂,  a₃,  …,  a_n   และ   ถ้า a  เป็น ลำดับอนันต์  จะเขียนแทนด้วย  a₁,  a₂,  a₃,  …,  a_n,  …

เรียก     a₁   ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ

เรียก     a₂   ว่า  พจน์ที่ 2  ของลำดับ

เรียก     a₃   ว่า  พจน์ที่ 3  ของลำดับ

และเรียก   a_n  ว่า  พจน์ที่ n  ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

ตัวอย่างของลำดับ

1)   4,  7,  10,  13    เป็น   ลำดับจำกัด  ที่มี

a₁             =           4
a₂             =           7
a₃             =            10
a₄             =            13
และ     a_n             =            3n + 1

2)    – 2,  1,  6,  13,  …   เป็น   ลำดับอนันต์    ที่มี

                                      a₁             =         – 2
a₂             =           1
a₃             =           6
a₄             =           13
และ   a_n             =            n² – 3

การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n  หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน

    ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    { 1, 2, 3, …, n }  เรียกว่า    ลำดับจำกัด
และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }  เรียกว่า   ลำดับอนันต์
ความหมายของลำดับ
ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป
กล่าวคือ  ถ้า a  เป็น ลำดับจำกัด  จะเขียนแทนด้วย   a1,   a2,  a3,  …,  an
และ        ถ้า a  เป็น ลำดับอนันต์  จะเขียนแทนด้วย  a1,  a2,  a3,  …,  an,  …                            

 

      ลำดับเลขคณิต คือ  ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่  n+1   กับพจน์ที่ n  มีค่าคงที่เสมอ 

     เรียกผลต่างนี้ว่า  ผลต่างร่วม   โดยใช้สัญลักษณ์  d

     ตัวอย่างลำดับเลขคณิต 

        1.    2, 5, 8, 11,…

       จากลำดับจะเห็นว่า  พจน์ที่ 1  บวกด้วย   3   มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 2  (2+3=5)  ,

       พจน์ที่  2  บวกด้วย  3  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  3  (5+3=8)  ,  พจน์ที่  3  บวกด้วย  3  มีค่าเท่ากับพจน์

       ที่  4   (8+3=11)

       เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป  จะเห็นว่าลำดับนี้แต่ละพจน์เพิ่มขึ้นทีละ  3    ผลต่างร่วม คือ  3  นั่นเอง

        2.    100, 98, 96, 94,…

        จากลำดับจะเห็นว่า  พจน์ที่ 1  ลบด้วย   2   มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 2  (100-98=2)  ,

        พจน์ที่  2  ลบด้วย  2  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  3  (98-2=96)  ,  พจน์ที่  3  ลบด้วย  2  มีค่าเท่ากับ  

        พจน์ที่  4   (96-2=94)

        เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป      จะเห็นว่าลำดับนี้แต่ละพจน์ลดลงทีละ  2    ผลต่างร่วม คือ  –2  นั่นเอง

     สูตรที่สำคัญ คือ

                     1.

                      2.  

         ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนร่วมระหว่างพจน์ที่  n+1  กับพจน์ที่ n  คงที่เสมอ

      เรียกค่าคงที่นี้ว่า  อัตราส่วนร่วม   ใช้สัญลักษณ์  r

      ตัวอย่างของลำดับเรขาคณิต

          1.    2, 4, 8, 16,…

        จากลำดับนี้จะเห็นว่า  พจน์ที่ 1  คูณด้วย  2  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  2    ,   พจน์ที่  2  คูณด้วย  2

        มีค่า เท่ากับพจน์ที่  3 , พจน์ที่  3  คูณด้วย  2  มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 4

        เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป  อัตราส่วนร่วม เท่ากับ  2

         2.   81, 27, 9, 3 ,…

        จากลำดับนี้จะเห็นว่า  พจน์ที่ 1  คูณด้วย  1/3  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  2 ,   พจน์ที่  2  คูณด้วย  1/3

        มีค่าเท่ากับพจน์ที่  3 , พจน์ที่  3  คูณด้วย  1/3  มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 4

        เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป      อัตราส่วนร่วม เท่ากับ  1/3

    สูตรที่สำคัญ คือ

       1. 

         2.           

  อนุกรม

            บทนิยาม

ถ้า  a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n   เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์    จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
                     a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n  ว่า  อนุกรมจำกัด
ทำนองเดียวกัน  ถ้า   a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n,  …  เป็น  ลำดับอนันต์      จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป
                    a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n  + …  ว่า   อนุกรมอนันต์

       จากบทนิยาม จะได้ว่า อนุกรมจำกัดมาจากลำดับจำกัด  และอนุกรมอนันต์มาจากลำดับอนันต์

         อนุกรมเลขคณิต

บทนิยาม

      อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

   เมื่อ      a₁,  a₁ + d,   a₁ + 2d,   …,    a₁ + (n – 1)d                      เป็นลำดับเลขคณิต

  จะได้   a₁  +   (a₁ + d)  +  (a₁ + 2d)   +  …  +   (a₁ + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี   a₁  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n   เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n  พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

                  a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n               ว่า  อนุกรมเลขคณิต

และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

อนุกรมเรขาคณิต

บทนิยาม   

 อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต   เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต  และ อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต 

จะเป็นอัตราส่วนร่วมของ อนุกรมเรขาคณิตด้วย

กำหนด      a₁,    a₁r,    a₁r²,   …,   a₁r ^n-1   เป็นลำดับเรขาคณิต

 จะได้          a₁    +  a₁r  +  a₁r²  + … + a₁r ^n-1  เป็นอนุกรมเรขาคณิต

 ซึ่งมี       a₁  เป็นพจน์แรก  และ  r  เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n   เป็น ลำดับเรขาคณิต ที่มี n  พจน์จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

                  a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n           ว่า  อนุกรมเรขาคณิต