คณิตศาสตร์-วิธีการเรียงสับเปลี่ยน

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือการเรียงสิ่งของโดยคำนึงถึงตำเเหน่งของสิ่งของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บทนิยามที่ว่า “ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!”

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 3!5!

โดยวิธีสับเปลี่ยนนั้นจะใช้ทั้งหมด 2 เเบบคือ วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นเเละวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น

สามารถเเบ่งได้เป็น 2 เเบบคือ

1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Pn.r วิธีโดย

Pn,r = n!

(n – r)!

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด

1. มีหนังสือที่เเตกต่างกัน 7 เล่ม ต้องการนำหนังสือมา 4 เล่มเพื่อจัดเรียงเป็นเเถวบนชั้นจะจัดได้กี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ

จะจัดได้ทั้งหมด 840 วิธี

2. ถ้าต้องการสลับคำว่า “ALIVE” จะสลับได้กี่วิธีหากให้ AL อยู่ติดกัน จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ

จะจัดได้ทั้งหมด 240 วิธี

3. หากต้องการจะจัดหนังสือการ์ตูนต่างกัน 5 เล่มเเละหนังสือนิยายต่างกัน 4 เล่มจะมีวิธีการจัดหนังสือหมวดเดียวกันที่อยู่ติดกันได้กี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ

จะทำได้ทั้งหมด 161640 วิธี

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ nk กลุ่ม (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของในเเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็นของเหมือนกัน *จำเเนกเป็นกลุ่มๆ* จำนวนวิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n สิ่งนั่นคือ

วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง = n!