ธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)
วิธีเรียงสับเปลี่ยน หมายถึง การจัดเรียงอันดับสิ่งของโดยถือเอาอันดับเป็นสำคัญ เช่น วิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร 3 ตัว คือ A, B และ C นำมาจัดเรียงอันดับทั้งหมดได้ดังนี้ ABC, ACB, BAC, CAB, CBA
เรียกว่า วิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรทั้ง 3 ตัวนี้มี 6 วิธี
การหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการเรียงสับเปลี่ยนจะน ากฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการน ามาใช้โดยถือเสมือนว่าการจัดอันดับแต่ละอันดับเป็นการท างานอย่างหนึ่ง เช่น การจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวข้างต้นเป็นการ
ทำงาน 3 อย่างดังนี้
การจัดตัวอักษรในต าแหน่งที่ 1 มี 3 วิธี ( A หรือ B หรือ C ) ในแต่ละวิธีสามารถจัดตัวอักษรใน
ตำแหน่งที่ 2 ได้อีก 2 วิธี ( ตัวอักษรที่เหลือ ) และในแต่ละวิธีของการจัดตัวอักษรในต าแหน่งที่ 1 และตำแหน่ง
ที่ 2 จะจัดตัวอักษรในต าแหน่งที่ 3 ได้อีก 1 วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดอันดับตัวอักษรที่แตกต่างกัน จึง เท่ากับ 3×2 = 6 วิธี
สรุปเป็นกฎข้อที่ 3 ได้ดังนี้

กฎข้อที่ 3 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n ! วิธี

ตัวอย่างที่ 1 จงหาจ านวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 5 คน เข้าแถวเรียงหนึ่ง
วิธีท า คนทั้ง 5 คน เปรียบเสมือนสิ่งของ 5 สิ่งที่แตกต่างกัน
ดังนั้น จ านวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 5 คนเข้าแถวเรียงหนึ่ง = 5 !
= 5x4x3x2x1
= 120วิธี

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น หรือ ภาษาอังกฤษ คือ Linear Permutation เป็นนำสิ่งของมาเรียงสับเปลี่ยนในแนวเส้นตรง ซึ่งก็จะแบ่งการเรียงออกเป็น

• การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
• การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่มีสิ่งของบางสิ่งเหมือนกันหรือซ้ำกัน

แต่ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด  มาเริ่มกันเลยครับ

สมมติผมมีสิ่งของที่ต่างกัน 3 สิ่งคือ A,B,C

นำมาจัดเรียงในที่นี้ก็คือนำมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นคราวละ 3 สิ่ง ก็จะได้ 6 วิธีที่แตกต่างกันคือ

วิธี 1  คือ A,B,C

วิธี 2 คือ A,C,B

วิธี  3 คือ C,A,B

วิธี 4 คือ C,B,A

วิธี 5 คือ B,C,A

วิธี 6 คือ B,A,C

แต่ถ้าผมหยิบของนำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 2  สิ่งก็จะได้ 6 วิธี คือ

วิธี 1 คือ A,B

วิธี 2 คือ A,C

วิธี 3 คือ B,C

วิธี 4 คือ B,A

วิธี 5 คือ C,A

วิธี 6 คือ C,B

วิธีเรียงสับเปลี่ยน

วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง  = 8x7x6x5x4x3 = 40320 วิธี

(n-1)! วิธี

 

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

1. หากต้องการจัดนักเรียน 5 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมีทั้งหมด 5 ที่นั่งนั้นได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ

(5-1)!= (4)! =4x3x2x1=24 วิธี

คำตอบ

 

จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด 24 วิธี

2. กำหนดให้นักเรียน 6 คนนั้นนั่งโต๊ะกลมทั้งหมด 6 ที่นั่งโดยมีชาย 3 คน เเละหญิง 3 คน ถ้ากำหนดว่า ชายเเละหญิงต้องนั่งสลับกัน จะนั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ

นำผู้ชายมานั้ง(3-1)!= (2)! =2×1=2 วิธี

นำผู้หญิงมานั้ง(3-0)!= (3)! =3×2=6 วิธี

นำผู้ชาย และผู้หญิงมานั้ง 2!3!= (2)(1)(3)(2) =2×6=12 วิธี