การทดลองสุ่ม แซมเปิลสเปซ และเหตุการณ์

1.การทดลองสุ่ม ( Random Experiment )

             คือ การทดลองที่เราไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากแต่ละการกระทาจะเป็นอะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้างที่จะเกิดขึ้นได้ เช่น    โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง หน้าที่หงายขึ้นอาจออกหัวหรืออกก้อย

          ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง หน้าที่หงายขึ้นอาจเป็นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แต่เราไม่รู้ว่าจะเกิดแต้มอะไรแน่นอน

           การหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่อง ซึ่งมี 5 ลูก 5 สี ดังรูป ลูกปิงปองที่หยิบได้อาจจะเป็น ลูกปิงปองสีขาว ฟ้า แดง เขียว หรือส้ม

เมื่อศึกษาหน่วยนี้จบแล้ว

1. นักศึกษาสามารถบอกได้ว่าการทดลองใดเป็นการทดลองสุ่ม

2. เขียนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มที่กำหนดให้ได้

3. เขียนเหตุการณ์ที่สนใจซึ่งเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ที่ได้จากการทดลองต่อไปนี้

                1. การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ

2. การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย

3. การนำ 2 ไปบวกกับ 3
4. การเล่นเป่ายิ้งฉุบ
5. การนำจำนวนคู่คูณกับจำนวนคี่
6. การหาผลคูณของจำนวน 2 จำนวน

เฉลย      1. {หัว,ก้อย}

2. {1,2,3,4,5,6}

3.  5
4. {แพ้,ชนะ}
5. จำนวนคู่
6. ไม่ทราบผลลัพธ์

               

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองใดๆที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง

ทำให้ไม่สามารถบอกผลลัพธ์ที่แน่นอนได้ล่วงหน้า แต่ทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ถ้าการทดลองใดๆมีผลลัพธ์เกิดขึ้นเพียงอย่างเดียวเท่านั้น  หรือ ไม่ทราบผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น
เรียกว่า  การทดลองที่ไม่ใช่การทดลองสุ่ม

พิจารณาว่าการทดลองในตัวอย่างที่ 1 ข้อใดเป็นการทดลองสุ่ม

1. การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรารู้ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็นอย่างไร   

    ได้บ้างแต่ยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง

2. การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรารู้ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็นอย่างไร   

    ได้บ้างแต่ยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าหงายหน้าอะไร ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง

3. การนำ 2 ไปบวกกับ 3 ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะผลลัพธ์เท่ากับ 5 เพียงอย่างเดียวเท่านั้น
4. การเล่นเป่ายิ้งฉุบเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรารู้ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็นอย่างไรได้บ้างแต่ยัง 

    ไม่ทราบว่าจะแพ้หรือชนะ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง
5. การนำจำนวนคู่คูณกับจำนวนคี่ ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะผลลัพธ์จะเป็นจำนวนคู่เสมอ
6. การหาผลคูณของจำนวน 2 จำนวน ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเราไม่รู้ว่า 2 จำนวนนั้นคือ    

    จำนวนใด จึงไม่สามารถหาผลลัพธ์ที่แน่นอนได้

ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาว่าการทดลองต่อไปนี้เป็นการทดลองสุ่มหรือไม่

                1. การสุ่มหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่สำรับหนึ่ง

2. การวิ่งแข่ง

เฉลย      ทั้งสองการทดลองเป็นการทดลองสุ่ม

1. การหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่สำรับหนึ่ง ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าจะได้ไพ่ใด

2. การวิ่งแข่งขัน ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะแต่ละคนมีโอกาสชนะแต่เราไม่ทราบว่าเป็นใคร

แซมเปิลสเปซ (Sample Space)

แซมเปิลสเปซ (sample space) คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เขียนแทนด้วย s และจำนวนของ แซมเปิลสเปซ เขียนแทนด้วย n(S)

ตัวอย่างที่ 3 ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ 1 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ตอบ       ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ หัวหรือก้อย
ตัวอย่างที่ 4  การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาแต้มที่เกิดขึ้นทั้งหมด
ตอบ       แต้มที่เกิดขึ้นทั้งหมดคือ 1 , 2 , 3 , 4  , 5 และ 6

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากการทดลองสามารถเขียนในรูปของเซต

                โดยเรียกเซตนี้ว่า แซมเปิลสเปซ

แซมเปิลสเปซ  (Sample Space)  คือ  เซตของผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด

จากการทดลองสุ่ม  และเป็นสิ่งที่เราสนใจ  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  S

                                ซึ่งในการทดลองสุ่มเดียวกัน สามารถเขียนแซมเปิลสเปซได้มากกว่าหนึ่งแบบ 

                ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เราสนใจ 

จากตัวอย่างที่ 3 จะได้ว่าแซมเปิลสเปซในการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ 1 ครั้ง คือ {หัว,ก้อย}

จากตัวอย่างที่ 4    การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง

ถ้าผลลัพธ์ที่เราสนใจ คือ แต้มที่ได้ จงเขียนแซมเปิลสเปซ

               ให้  S₁ แทนแซมเปิลสเปซ จะได้

        S₁ =  { 1 , 2 , 3 , 4  , 5 , 6 }

แต่ถ้าผลลัพธ์ที่เราสนใจ คือ แต้มของลูกเต๋าที่ได้ เป็นจำนวนคู่

 ให้  S₂ แทนแซมเปิลสเปซ จะได้

        S₂ =  { 2 , 4 , 6 }

             จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า แซมเปิลสเปซที่เขียนได้ไม่เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 5   กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก จงหา
1. แซมเปิลสเปซของสีลูกบอลที่หยิบได้
2. แซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบได้
วิธีทำ     1. เนื่องจากโจทย์สนใจสีของลูกบอลที่หยิบได้ และสีของลูกบอลมี 2 สี คือ สีแดงและสีขาว
ดังนั้นแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่หยิบได้คือ
S  =  {สีแดง,สีขาว}
2. เนื่องจากโจทย์สนใจลูกบอลที่หยิบได้ และลูกบอลมีทั้งหมด 3 ลูก
                สมมติให้เป็น แดง₁ แดง₂ ขาว₁
                ดังนั้นแซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบได้คือ
S  =  {แดง₁,แดง₂, ขาว₁}

จากผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ ถ้าเราสนใจผลลัพธ์เพียงบางตัว เราจะเรียก

                เซตของผลลัพธ์บางตัวที่เราสนใจนี้ว่า  เหตุการณ์

เหตุการณ์ (Events)

ในการทดลองเรามักจะสนใจเกี่ยวกับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์มากกว่าสนใจในสมาชิกทั้งหมดของแซมเปิลสเปซ เช่น เมื่อทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง เราสนใจในเหตุการณ์ A เมื่อเหตุการณ์ A คือการทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มเป็นจำนวนคู่ เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นเมื่อผลลัพธ์เป็นสมาชิกของเซต A = {2, 4, 6} ซึ่งเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S =  { 1 , 2 , 3 , 4  , 5 , 6 }

                    เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ นิยมใช้สัญลักษณ์ E แทนเหตุการณ์

                จะได้ว่า S และ f ก็เป็นเหตุการณ์ด้วย

ตัวอย่างที่ 6   ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง  ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือ แต้มที่ได้

                จะได้      S = { 1,2,3,4,5,6 }

ถ้าให้    E₁  เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว      จะได้  E₁ = { 3,6 }

E₂  เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 2                     จะได้  E₂ = { 3,4,5,6 }

ในกรณีทั่วไปเราจะใช้สัญลักษณ์

n(S) แทนจำนวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซ S

n(E) แทนจำนวนสมาชิกในเหตุการณ์ E

จากตัวอย่างที่ 6 จะได้ว่า  n(S) = 6 , n(E₁) = 2 และ n(E₂) = 4

ตัวอย่างที่ 7  โยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง  ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ  คือ  หน้าของเหรียญที่ขึ้น จงหา
ก. เหตุการณ์ที่ได้หัวสองเหรียญ
ข. เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้าเดียวกัน 

วิธีทำ      จะได้      S   =  { HH,HT,TH,TT }

                ก. เหตุการณ์ที่ได้หัวสองเหรียญ  คือ  E₁  =  { HH }

ข. เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้าเดียวกัน  คือ  E₂  =  { HH , TT }

 

ตัวอย่างที่ 8  ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ  คือ  แต้มที่ได้ จงหา
ก. เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 4
ข. เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน

วิธีทำ      จะได้      S =  { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6) }

เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 4 คือ  E₁ = { (1,3),(2,2),(3,1) }

เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน E₂ = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

ตัวอย่างที่ 9  ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ  คือ  ผลรวมของแต้มที่ได้ เป็น 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11   และ 12 จงหา
ก. เหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกเป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
ข. เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกมากกว่า 12
ค. เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะ

วิธีทำ    จะได้      S =  { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }

เหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกเป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว คือ

E₁  =  { 3,6,9,12 }

เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกมากกว่า 12 คือ E₂ =

เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะ คือ  E₃ = { 2,3,5,7,11}

 ข้อสังเกต

1.  เพราะว่า  f  Ì  S  ดังนั้น  f  เป็นเหตุการณ์
2.  เพราะว่า   S  Ì  S  ดังนั้น  S  เป็นเหตุการณ์
3.  เนื่องจาก  S  เป็นเซตจำกัด  ถ้า  E  เป็นเหตุการณ์แล้ว
3.1  E  เป็นเซตจำกัด
3.2  0    n(E)   n(S)
3.3  n(E)  =  0  ก็ต่อเมื่อ  E  =  f
3.4  n(E)  =  n(S)  ก็ต่อเมื่อ  E  =  S

ตัวอย่าง 10  ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือ แต้มที่ได้

จะได้ S = { 1,2,3,4,5,6 }

ถ้าให้ E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว จะได้ E1 = { 3,6 }

E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 2 จะได้ E2 = { 3,4,5,6 }

ในกรณีทั่วไปเราจะใช้สัญลักษณ์

n(S) แทนจำนวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซ S

n(E) แทนจำนวนสมาชิกในเหตุการณ์ E

จะได้ว่า n(S) = 6 , n(E1) = 2 และ n(E2) = 4

ตัวอย่าง 11  โยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ หน้าของเหรียญที่ขึ้น จงหา ก. เหตุการณ์ที่ได้หัวสองเหรียญ ข. เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้าเดียวกัน

วิธีทำ จะได้ S = { HH,HT,TH,TT }

ก. เหตุการณ์ที่ได้หัวสองเหรียญ คือ E1 = { HH }

ข. เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้าเดียวกัน คือ E2 = { HH , TT }

ตัวอย่าง 12   ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่ได้ จงหา ก. เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 4 ข. เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน

วิธีทำ จะได้ S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6) }

เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 4 คือ E1 = { (1,3),(2,2),(3,1) }

เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน E2 = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

โจทย์

ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ผลรวมของแต้มที่ได้ เป็น 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 และ 12 จงหา
ก. เหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกเป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
ข. เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกมากกว่า 12
ค. เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะ

โจทย์
จากการทอดลูกเต๋า1ลูก1ครั้ง จงเขียนเหตุการณ์ดังต่อไปนี้
1.ลูกเต๋าขึ้นแต้มคู่
2.ลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า4
3.ลูกเต๋าขึ้นแต้มไม่เกิน6
4.ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นเลขคี่และน้อยกว่า4

ตัวอย่างที่ 13  ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง  จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้

(1) ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูกน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6

(2) ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูกหารด้วย 4 ได้ลงตัว

วิธีทำ  ทอดลูกเต๋า 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จะได้

                                                                          n(S) = 36

(1) หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์   ที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูก น้อยกว่า  หรือเท่ากับ 6

ให้ E₁ เป็นเหตุการณ์ที่ ผลรวมแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูกน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6  คือ  มีผลรวมแต้มเท่ากับ 2,  3,  4,  5  และ 6

ดังนั้น  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่ผลรวมแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูกน้อยกว่า หรือเท่ากับ 6  มีค่าเท่ากับ    5/12

(2) หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูก หารด้วย 4 ได้ลงตัว

ให้ E₂  เป็นเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูก หารด้วย 4 ได้ลงตัว  คือ มีผลรวมแต้มเท่ากับ 4, 8 และ 12

ดังนั้น  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองหารด้วย 4 ได้ลงตัว มีค่าเท่ากับ 1/4