ความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันของคนเรานั้นจะต้องประสบปัญหาต่าง ๆ ที่จะต้องตัดสินใจอยู่เสมอ การคาดคะเนผลที่อาจเกิดขึ้นของเหตุการณ์ต่าง ๆ เพื่อช่วยในการตัดสินใจจึงเป็นสิ่งจำเป็น การคำดคะเนของเรำมักจะทำอย่างคร่าวๆ เพียงเพื่อตัดสินใจปัญหาแต่ละข้อ และการคาดคะเนนั้นอำจจะถูกหรือผิดก็ได้ในทำงคณิตศำสตร์มีการ
กำหนดค่าเป็นตัวเลขเพื่อบอกค่าของการคำดคะเนว่ำมีโอกำสจะเกิดขึ้นตำมที่คำดไว้มำกน้อยเพียงใดซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็น
3.1 การทดลองความน่าจะเป็นและปริภูมิตัวอย่าง (Probability experiment and Sample Space) การทดลองความน่าจะเป็น (Probability experiment) หมายถึงกระบวนการในการที่จะก่อให้เกิดชุด ของข้อมูล เช่น การโยนเหรียญ การทอดลูกเต๋า หรือการเลือกไพ่จากสำรับ กระบวนการเหล่านี้เป็นการทดลองที่ทำให้ได้มาซึ่งผลลัพธ์ (outcome) เมื่อเราโยนเหรียญหนึ่งเหรียญจะมีผลลัธ์อยู่สองแบบที่เป็นไปได้คือ หัวหรือ ก้อย ผลของการทดลองที่ออกมาแตกต่างกันนั้นสะท้อนให้เห็นถึงความหมายของคาว่า “ความไม่แน่นอน(Uncertainty)” ความน่าสนใจจะอยู่ที่การศึกษาโอกาส (Chance) หรือความน่าจะเป็นของการที่จะเกิดผลแบบใด แบบหนึ่งว่าเป็นเท่าใดปริภูมิตัวอย่าง (Sample space) หมายถึงเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดลองความน่าจะเป็นใด ๆ มักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และผลแต่ละอย่างที่เกิดขึ้นหรือสมาชิกของแต่ละตัวของปริภูมิตัวอย่าง เรียกว่า
จุดตัวอย่าง (sample point) หรือ สมาชิก (element)
ตัวอย่าง 3.1 จงหาผลลัธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (sample space)
ตัวอย่าง 3.1 จงหำผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (sample space) ของกำรทดลองต่อไปนี้
1. โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง
S = {H, T} โดยที่ H หมำยถึง หัวและ T หมำยถึง ก้อย
2. กำรทอดลูกเต๋ำ 1 ลูก 1 ครั้ง เมื่อสนใจแต้มที่ได้
S = {1,2,3,4,5,6}
3. กำรทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง เมื่อสนใจแต้มที่ได้ว่ำเป็นเลขคู่หรือเลขคี่
S = {แต้มคู่, แต้มคี่}
4. กำรโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง
S = {HT,HH,TH,TT}
5. โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋ำ 1 ลูก
S={H1,H2,H3,H4,H5,H6,T1,T2,T3,T4,T5,T6}

6. เพศของบุตรของครอบครัวหนึ่งที่มีบุตร 3 คน
S={MMM,MMF,MFM,FMM,FFF,FFM,FMF,MFF}
7. กำรโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง เมื่อสนใจจ ำนวนเหรียญที่ขึ้นหัว
S = {0,1,2,3}
8. โยนเหรียญ 1 เหรียญ หำกขึ้นหัวจะโยนเหรียญอีก 1 เหรียญ แต่ถ้ำขึ้นก้อยจะโยลูกเต๋ำ 1 ลูก
สำมำรถเขียนแผนภำพต้นไม้ได้ดังนี้

6. เพศของบุตรของครอบครัวหนึ่งที่มีบุตร 3 คน
S=[MMM,MMF,MFM,FM,FFF,FF,]
7 . การโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง เมื่อสนใจจำนวนเหรียญที่ขึ้นหัว
S=10,1,2,3
8. โยนเหรียญ 1 เหรียญ หากขึ้นหัวจะโยนเหรียญอีก 1 เหรียญ แต่ถ้าขึ้นก้อยจะโยลูกเต๋ 1 ลูก
สามารถเขียนแผนภาพต้นไม้ได้ดังนี้
ในบางครั้งเราอาจไม่ได้สนใจผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม แต่เราสนใจผลลัพธ์เพียง
บางส่วนที่อาจเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม เราเรียกเซตของผลลัพธ์บางส่วนนี้ว่า เหตุการณ์
เหตุการณ์ (Event) คือ เซตย่อย (subset) ของปริภูมิตัวอย่าง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือผลลัพธ์ที่เราสนใจ
จากการทดลอง อาจประกอบด้วยผลลัพธ์หนึ่งผลลัพธ์ หรือมากกว่าหนึ่งผลลัพธ์ก็ได้ ถ้าเหตุการณ์นั้นประกอบด้วย
1 ผลลัพธ์จะเรียกว่า เหตุการณ์เชิงเดี่ยว (Simple event และถ้าเหตุการณ์นั้นประกอบด้วยผลลัพธ์ตั้งแต่ 2
ผลลัพธ์ขึ้นไปจะเรียกว่า เหตุการณ์เชิงประกอบ (Compound event)
ตัวอย่าง 3.2 ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง ผลลัธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ
S = [ HH, HT, TH, T ]
ถ้า E, เป็นเหตุการณ์ที่ได้หัว 2 ครั้ง
E1 = [HH]

ㆍ ถ้า E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้หัวอย่างน้อย 1 ครั้ง
E2 = [HH, HT, TH]
ㆍถ้า E3 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่ได้หัวเลย
E3 = IT]
ตัวอย่าง 3.3 จงหาเหตุการณ์ต่อไปนี้
1. จากการทดลองโยนเหรียญ เหรียญ และทอดลูกเต๋ 1 ลูก จงหาเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวและลูกเต๋
ออกแต้มคู่
E = [ H2, H4, H6]
2. จากการทดลองทอดลูกเต๋ 2 ลูก จงหาเหตุการณ์ที่ลูกเตำออกแต้มเหมือนกันทั้ง 2 ลูก
E= [11,22,33, 44, 55,66]
3. เพศของบุตรของครอบครัวหนึ่งที่มีบุตร 3 คน จงหาเหตุการณ์ที่ได้ลูกชายอย่างน้อย 1 คน
E = [MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF]
3.2 เทคนิคการนับ (Counting Techniques)
ในการคำนวณหาค่าความน่าจะเป็นจะต้องทราบจำนวนผลลัธ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลอง แต่การ
ทดลองบางอย่างอาจมีผลลัพธ์เกิดขึ้นมาได้มากมายจนทำให้เสียเวลาในการเขียนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้น
จึงต้องอาศัยหลักการนับเพื่อช่วยในการคำนวณหาจำนวนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นดังกล่าว
3.2.1 หลักการคูณ (Multiplication Rule)
ตัวอย่าง 3.4 ถ้ามีถนนเชื่อมระหว่างเมือง ก และเมือง ข 4 สาย และถนนเชื่อมระหว่างเมือง ข และเมือง ค 5 สาย
การเดินทางจากเมือง ก ไปยังเมือง คุ โดยให้ผ่านเมือง ข จะทำได้กี่วิธี

วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 เดินทางจากเมือง ก ไปเมือง ข ทำได้ 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เดินทางจากเมือง ข ไปเมือง ค ทำได้ 5 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการเดินทางจากเมือง ก ไปยังเมือง ค โดยให้ผ่านเมือง ข คือ 4 x 5 = 2

ตัวอย่าง 3.5 จงหาจำนวนผลลัพธ์ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ พร้อมกับทอดลูกเต๋า 1 ลูก
วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 โยนเหรียญ 1 เหรียญ ได้ 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 ทอดลูกเต๋ 1 ลูก ได้ 6 วิธี
ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ พร้อมกับทอดลูกเต๋า 1 ลูก เท่ากับ 6 x 2 = 12 วิธี
ตัวอย่าง 3.6 ชายคนหนึ่งมีเสื้ออยู่ 5 สี คือ สีฟ้า แดง เขียว เหลือง ส้ม มีกางเกงอยู่ 3 สี คือ สีดำ ขาว
น้ำตาล และมีรองเท้าอยู่ 2 คู่ อยากทราบว่า ชายคนนี้จะมีวิธีการแต่งตัวทั้งหมดกี่วิธีโดยไม่ซ้ำกัน
วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 สามารถเลือกเสื้อได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 สามารถเลือกกางเกงได้ 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 สามารถเลือกใส่รองเท้าได้ 2 วิธี
ดังนั้น ชายคนนี้จะมีวิธีการแต่งตัวทั้งหมด 5 x 3 x 2 = 30 วิธี
ตัวอย่าง 3.7 มีตัวเลขอยู่ 6 ตัว คือ 1-6 ต้องการสร้างเลข 3 หลัก โดยใช้เลขซ้ำได้จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน และ
ถ้าห้ามใช้เลขซ้ำจะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน
วิธีทำ
– กรณีที่เลขซ้ำกัน
หลักร้อย สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 6 วิธี
หลักสิบ สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 6 วิธี
หลักหน่วย สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 6 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการสร้างเลข 3 หลัก โดยที่เลขซ้ำกันได้ 6 x 6 x 6 = 216 วิธี
– กรณีที่เลขไม่ซ้ำกัน
หลักร้อย สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 6 วิธี
หลักสิบ สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 5 วิธี
หลักหน่วย สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 4 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการสร้างเลข 3 หลัก โดยที่เลขไม่ซ้ำกันได้ 6 x 5 x 4 = 120 วิธี
ตัวอย่าง 3.8 มีตัวเลขอยู่ 10 ตัว คือ 0-9 ต้องการสร้างจำนวนเต็มบวก 3 หลัก มีกี่จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว โดย
แต่ละหลักมีตัวเลขไม่ซ้ำกัน
วิธีทำ กรณีที่หลักหน่วยเป็น 0
หลักร้อย สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 8 วิธี
หลักสิบ สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 9 วิธี
หลักหน่วย สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 1 วิธี (เลข 0)
กรณีที่หลักหน่วยเป็น 5
หลักร้อย สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 7 วิธี
หลักสิบ สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 9 วิธี
หลักหน่วย สามารถเลือกใช้ตัวเลขได้ 1 วิธี (เลข 5)
ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดคือ (8 x 9 x 1) + (7 x 9 x 1) = 135 วิธี