ความน่าจะเป็น (Probability) กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
|
.ในชีวิตประจำวันเรามักจะพบปัญหาเกี่ยวกับการนับจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธีในการจัดชุดของสิ่งของต่าง ๆ เช่น การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดอาหาร เป็นต้น การคำนวณเพื่อหาคำตอบสำหรับปัญหาประเภทต่าง ๆ ดังกล่าว จะทำได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้น ถ้าเข้าใจกฏเกณฑ์บางข้อ ซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ กฎของการนับมี 2 กฎ ดังนี้ 1. กฎการคูณ (multiplicative rule) …กฎการคูณ… กฎการคูณมี 2 ข้อดังนี้ กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานทั้งสองอย่างเท่ากับ n1 x n2 วิธี กฎข้อที่ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สามได้ n3 วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ n1 x n2 x n3 x … x nk วิธี …กฎการบวก… กฎการบวกมี 2 ข้อดังนี้ กฎข้อที่ 1 ในการทำงานอย่างหนึ่งมีทางเลือก 2 ทาง คือ n1 กับ n2 วิธี และในแต่ละทางเลือกนั้นจะเลือกทำพร้อม ๆ กันไม่ได้ จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานเท่ากับ n1 + n2 วิธี ตัวอย่างโจทย์ ตัวอย่างที่ 1 มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว จะจัดเป็นชุดที่ไม่ซ้ำกันได้กี่แบบ มีจำนวนวิธีในการเลือกเสื้อทั้งหมด 3 วิธี มีจำนวนวิธีในการเลือกางเกงทั้งหมด 4 วิธี ตอบ มีจำนวนวิธีที่จะจัดเป็นชุดได้ทั้งหมด 3×4 = 12 แบบ ตัวอย่างที่ 2 ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 มาสร้างจำนวน 3 หลัก จะสร้างได้กี่จำนวน ถ้ากำหนดให้ 1) แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน เลือกเลขในหลักร้อยได้ 5 จำนวน (ไม่นับเลข 0) เลือกเลขในหลักสิบได้ 5 จำนวน (เนื่องจากหลักร้อยเลือกไปแล้ว 1 จำนวน) เลือกเลขในหลักหน่วยได้ 4 จำนวน (เนื่องจากหลักร้อยเลือกไปแล้ว 1 จำนวน และหลักสิบเลือกไปแล้ว 1 จำนวน) ตอบ จะสร้างเลขได้ 5x5x4 = 100 จำนวน 2) เป็นจำนวนคี่และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน เลือกเลขในหลักหน่วยได้ 3 จำนวน (1,3,5) เลือกเลขในหลักร้อยได้ 4 จำนวน (เนื่องจากหลักหน่วยเลือกไปแล้ว 1 จำนวน และไม่นับเลข 0) เลือกเลขในหลักสิบได้ 4 จำนวน (เนื่องจากหลักหน่วยเลือกไปแล้ว 1 จำนวน และหลักร้อยเลือกไปแล้ว 1 จำนวน) ตอบ จะสร้างเลขได้ 4x4x3 = 48 จำนวน 3) มีค่ามากกว่า 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน กรณีที่ 1 หลักร้อยเป็นเลข 3 และหลักสิบเป็นเลข 5 เลือกเลขในหลักร้อยได้ 1 จำนวน (3) เลือกเลขในหลักสิบได้ 1 จำนวน (5) เลือกเลขในหลักหน่วยได้ 3 จำนวน (1,2,4) ดังนั้น จะสร้างเลขได้ 1x1x3 = 3 จำนวน กรณีที่ 2 หลักร้อยเป็นเลข 4 และ 5 เลือกเลขในหลักร้อยได้ 2 จำนวน (4,5) เลือกเลขในหลักสิบได้ 5 จำนวน (เนื่องจากหลักร้อยเลือกไปแล้ว 1 จำนวน) เลือกเลขในหลักหน่วยได้ 4 จำนวน (เนื่องจากหลักร้อยเลือกไปแล้ว 1 จำนวน และหลักสิบเลือกไปแล้ว 1 จำนวน) ดังนั้น จะสร้างเลขได้ 2x5x4 = 40 จำนวน ตอบ จะสร้างเลขได้ 3+40 = 43 จำนวน 4) หารด้วย 10 ลงตัว เลือกเลขในหลักหน่วยได้ 1 จำนวน (0) เลือกเลขในหลักร้อยได้ 5 จำนวน (ไม่นับเลข 0) เลือกเลขในหลักสิบได้ 6 จำนวน (0,1,2,3,4,5) ตอบ จะสร้างเลขได้ 1x5x6 = 30 จำนวน ตัวอย่างที่ 3 บริษัทรถยนต์แห่งหนึ่งตัวถังรถยนต์ออกมา 2 แบบ มีเครื่องยนต์ 2 ขนาด และสีต่าง ๆ กัน 3 สี ถ้าต้องการแสดงรถยนต์ให้ครบทุกแบบ ทุกขนาดและทุกสี จะต้องใช้รถยนต์อย่างน้อยที่สุดกี่คัน เลือกเครื่องยนต์ได้ 2 วิธี เลือกสีของรถยนต์ได้ 3 วิธี ตอบ จะต้องใช้รถยนต์อย่างน้อยที่สุด 2x2x3 = 12 คัน ตัวอย่างที่ 4 ข้อสอบฉบับหนึ่งมี 10 ข้อเป็นแบบถูก – ผิด จะมีวิธีตอบข้อสอบทั้งหมดกี่วิธี ข้อที่ 2 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ข้อที่ 3 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ข้อที่ 4 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ข้อที่ 5 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ข้อที่ 6 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ข้อที่ 7 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ข้อที่ 8 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ข้อที่ 9 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ข้อที่ 10 เลือกตอบได้ 2 วิธี (ถูก,ผิด) ตอบ จะมีวิธีตอบข้อสอบทั้งหมด 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 1,024 วิธี ตัวอย่างที่ 5 จดหมายแตกต่างกัน 3 ฉบับ ต้องการทิ้งจดหมายในตู้ไปรษณีย์ 4 ตู้ จะทิ้งได้กี่วิธี โดยที่ จดหมายฉบับแรกเลือกทิ้งลงตู้ได้ 4 วิธี จดหมายฉบับที่ 2 เลือกทิ้งลงตู้ได้ 3 วิธี (จดหมายใบแรกเลือกทิ้งไปแล้ว 1 ตู้) จดหมายฉบับที่ 3 เลือกทิ้งลงตู้ได้ 2 วิธี (จดหมายใบแรกเลือกทิ้งไปแล้ว 1 ตู้ และจดหมายใบที่ 2 เลือกทิ้งไปแล้วอีก 1 ตู้) ตอบ จะทิ้งจดหมายลงตู้ไปรษณีได้ 4x3x2 = 24 วิธี |
