ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนักพนันชาวฝรั่งเศสชื่อ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) ซึงนิยมเล่นพนันมาก เดอ เมเร มีปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกันระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์ที่ปราดเปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือปาสคาล (Pascal) และแฟร์มาต์ (Fermat) จนเป็นที่มาของทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน

ความหมายของความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันของทุกคนต้องได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดดจะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูกหวย มาน้อยกว่าจะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัคยก่อนที่ผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรืออารมณ์ในการตัดสินใจอะไรหลายๆอย่าง ซึ่งร้อยคนก็มีความเห็นไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความน่าจะเป็นจึงมีใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้

นิยามของความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N

และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n

โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน

ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ หาได้จากสูตร

P(E)=n(E)n(S)

เมื่อ P(E) แทนด้วย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆที่เราสนใจ

n(E) แทนด้วย จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ

n(S) แทนด้วย จำนนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

1. แดง ดำ เขียว ยืนเข้าแถวเป็นแนวตรง จงหาความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวยืนแยกกัน
S= {(แดง ดำ เขียว) , (แดง เขียว ดำ) , (เขียว แดง ดำ) , (เขียว ดำ แดง) , ( ดำ แดง เขียว) , ( ดำ เขียว แดง )}
ดังนี้ n(S)=6
เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ดำและเขียว ยืนแยกกันคือ
E = {(เขียว แดง ดำ), ( ดำ แดง เขียว)}

นั่นคือ n(E)=2

คำตอบข้อนี้ ความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวจะยืนแยกกันคือ P(E)=2/6=1/3

2. กบสุ่มหยิบลูกกวาด 2 เม็ดพร้อมกันจากถุงใบหนึ่งที่มีลูกกวาดสีแดง 4 เม็ด สีดำ 2 เม็ด จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

2) หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

แทนต่า

r1 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 1

r2 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 2

r3 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 3

r4 คือลูกกวาดสีแดง เม็ดที่ 4

b1 คือลูกกวาดสีดำ เม็ดที่ 1

b2 คือลูกกวาดที่ดำ เม็ดที่ 2

ดังนั้น สุ่มหยิบลูกกวาดออกมา 2 เม็ดพร้อมกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ

S= { ( r1, r2 ) ,( r1 , r3 ) , (r1,r4) , (r1,b1) , (r1,b2) , ( r2 , r3 ) ,(r2,r4) , (r2,b1) ,(r2,b2) , (r3 ,r4) ,(r3 , b1 ) , ( r3 , b2 ) , (r4 , b1 ) ,

(r4 ,b2) , (b1 , b2 ) }

มีทัังหมด 15 แบบ ดังนั้น n(S)= 15

1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

เหตุการที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

E = { ( r1,b1) , (r1,b2) , (r2,b1) , (r2,b2) , (r3,b1) , (r3,b2) , (r4,b1) , (r4,b2) }

ซึ่งมี 8 แบบ หรือ 8 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 8

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

P(E)= n(E)/n(S)=8/15

2. เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

E = {( r1,r2) , (r1,r3) , (r1,r4) , (r2,r3) , (r2,r4) , (r3,r4) }

ซึ่งมี 6 แบบ หรือ 6 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 6

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด คือ

P(E)=n(E)/n(S)=6/15=2/5

แบบฝึกหัด ( เฉลยอยุู่ข้างล่างนะคะ)

1. บีทายวันเกิดเพื่อน โดยเพื่อนบอกใบ้ให้ว่าเขาเกิดเดือนมีนาคม จงหาความน่าจะเป็นที่ตูนทายถูกว่าเพื่อนเกิดวันที่เท่าไร

2. ในขวดโหล มีลูกกวาดรสส้ม 4 ลูก ลูกกวาดรสมะนาว 3 ลูก ลูกกวาดรสสตรอเบอรี่ 5 ลูกหยิบลูกกวาด 1 ลูกจากขวดโหลนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกกวาดรสมะนาว

3. โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ได้แต้มที่หารด้วย 3 ลงตัว

เฉลย

1. วันเกิดของเพื่อนเป็นวันใดวันหนึ่งใน 31 วัน
ดังนั้น n(S) = 31

และ n(E) = 1

P(E) = 1/31

2. มีลูกกวาดรสส้ม 4 ลูก

ลูกกวาดรสมะนาว 3 ลูก

ลูกกวาดรสสตรอเบอรี่ 5 ลูก

N(S) = 4 + 3 + 5 = 12 ลูก

N(E) = 3 ลูก

P(E) = 3/12 หรือ 1/4

3. S = {1,2,3,4,5,6}

E ที่หารด้วย 3 ลงตัว = {3,6}

N(S) = 6

N(E) = 2

P(E) = 2/6 หรือ 1/3