ความน่าจะเป็น (Probability)

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนักพนันชาวฝรั่งเศสชื่อ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) ซึงนิยมเล่นพนันมาก เดอ เมเร มีปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกันระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์ที่ปราดเปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือปาสคาล (Pascal) และแฟร์มาต์ (Fermat) จนเป็นที่มาของทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน

ความหมายของความน่าจะเป็น ในชีวิตประจำวันของทุกคนต้องได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดดจะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูกหวย มาน้อยกว่าจะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัคยก่อนที่ผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรืออารมณ์ในการตัดสินใจอะไรหลายๆอย่าง ซึ่งร้อยคนก็มีความเห็นไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความน่าจะเป็นจึงมีใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้

นิยามของความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N

และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n

โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน

ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ หาได้จากสูตร

P(E)=n(E)n(S)

เมื่อ P(E) แทนด้วย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆที่เราสนใจ

n(E) แทนด้วย  จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ

n(S) แทนด้วย จำนนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (Fundamental Principles of Counting)

ในชีวิตประจำวันของมนุษย์เรามักจะเกี่ยวข้องกับการทำนายอนาคตเสมอ เช่น การทำนายลมฟ้า อากาศ ทำนายเกี่ยวกับการแข่งขันฟุตบอล เป็นต้น การศึกษาความน่าจะเป็นนั้นเกิดขี้นประมาณ ศตวรรษที่ 17 เมื่อนักพนันชื่อ Cevaalier de Mere ได้ถามปัญหา ปาสคาล (Blaise Pascal) และปาสคาลได้ส่งปัญหานี้ไปให้ แฟร์มาสต์ (Pierre de Fermat) และทั้งสองได้ศึกษาปัญหา และเริ่มสร้างทฤษฎีต่าง ๆ ขึ้น การศึกษาเรื่อง ความน่าจะเป็นนี้ จะช่วยให้นักเรียนสามารถเดาเหตุการณ์ ได้อย่างมีหลักมีเกณฑ์ช่วยในการตัดสินใจได้ถูกต้องมากยิ่งขึ้น

กฎข้อที่ 1

ถ้าการกระทำหนึ่งประกอบด้วย 2 ขั้นตอน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จำนวน n1 ผลลัพธ์ ในแต่ละผลลัพธ์นั้นของขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ 2 จำนวน n2 ผลลัพธ์

ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = n1 x n2 ผลลัพธ์

ตัวอย่าง1.

เหมียวมีเสื้อและกางเกง สำหรับสวมใส่ไปแสดงละคร 3 ตัว และ 2 ตัวตามลำดับ อยากทราบว่าศรรามจะสวมใส่เสื้อและกางเกงไปแสดงละครชุดต่าง ๆ ได้ทั้งหมดกี่ชุด

แนวคิด

เหมียวมีเสื้ออยู่ 3 ตัว

และเสื้อแต่ละตัวใส่กับกางเกงได้ 2 ตัว

ดังนั้น จำนวนชุดที้หมียวสวมใส่ = 3 x 2 = 6 ชุด

ตัวอย่าง2.

ในการเล่นเป่ายิ้งชุบ มีผู้เล่น 2 คน แต่ละคนจะออกมือแทนสิ่งใดสิ่งหนึ่งใน 3 สิ่งต่อไปนี้ คือ ฆ้อน กรรไกร กระดาษ จงหาจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

แนวคิด

ผู้เล่นคนที่ 1 จะออกมือได้ 3 แบบ

แต่ละแบบของผู้เล่นคนที่ 1 ผู้เล่นคนที่ 2 จะออกมือได้ 3 แบบ

ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = 3 x 3 = 9 แบบ

กฎข้อที่ 2 

ถ้าการกระทำหนึ่งประกอบด้วย k ขั้นตอน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จำนวน n1 ผลลัพธ์ ในแต่ละผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ 2 จำนวน n2 ผลลัพธ์ และในขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ 3 จำนวน n3   ผลลัพธ์   เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ

      ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = n1 x n2 x n3 x … x nk ผลลัพธ์

ตัวอย่าง1. 

หม่ำมีกางเกงอยู่ 2 ตัว เสื้อ 3 ตัว เน็คไท 2 เส้น อยากทราบว่าหม่ำแต่งตัวได้ทั้งหมกี่วิธี

แนวคิด

หม่ำแต่งตัว 1 วิธีต้องประกอบด้วย 4 ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 หม่ำต้องเลือกกางเกงได้ 2 วิธี

ขั้นตอนที่ 2 ใน 1 วิธีหม่ำเลือกกางเกงและเสื้อได้ 3 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 ในหนึ่งวิธีที่หม่ำเลือกกางเกงและเสื้อจะเลือกเน็คไทได้ 2 วิธี

ดังนั้น จำนวนที่หม่ำจะแต่งตัวได้ = 2 x 3 x 2 = 12 วิธี

 

ตัวอย่าง2. เมื่อโยนเหรียญหนึ่งอัน จำนวน 3 ครั้ง จะได้ผลต่าง ๆ กันกี่วิธี

แนวคิด

ให้ H แทนหัว

ให้ T แทนก้อย

โยนเหรียญครั้งที่ 1 เหรียญจะออก 2 วิธี

โยนเหรียญครั้งที่ 2 เหรียญจะออก 2 วิธี

โยนเหรียญครั้งที่ 3 เหรียญจะออก 2 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีที่โยนเหรียญ 1 อัน จำนวน 3 ครั้ง = 2 x 2 x 2 = 8 ครั้ง

แสดงเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

การทดลองสุ่ม ( Random Experiment )

คือ การทดลองที่เราไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากแต่ละการกระทำจะเป็นอะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้างที่จะเกิดขึ้นได้ เช่น…. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง แต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าอาจจะเป็น 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 เรียกการทอดลูกเต๋าว่า “การทดลองสุ่ม” เรียกเซตของแต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดว่า “แซมเปิลสเปซ”

แบบทดสอบ (มีเฉลย]

พิจารณาข้อความต่อไปนี้แล้วบอกว่าเป็นการทดลองสุ่มหรือไม่

1. ทอยลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง

2. โยนปากกาขึ้นฟ้า

3. การทำข้อสอบถูก-ผิด

4. น้ำเหนือนั่งรถเมล์มาโรงเรียน

5. การจับฉลากวันปีใหม่

เฉลย

1. เป็น

2. ไม่เป็น เพราะผลลัพธ์คือมีแค่ปากกาตกลงมา

3.เป็น

4. ไม่เป็น เพราะไม่มีตัวเลือกอื่น

5. เป็น เพราะเป็นการจับฉลากหรือว่าสุ่มนั่นเอง

 

เหตุการณ์ (Events)

คือผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าจะเกิดอะไร

บทนิยามคือ ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซจากการทดลองสุ่ม และ E ⊂ S จะเรียก E ว่า เหตุการณ์

ข้อควรสนใจ

1. เนื่องจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ ดังนั้น เซตว่าง ก็ถือเป็น เหตุการณ์ๆ หนึ่งด้วย

2. ถ้าแซมเปิลสเปซ S มีสมาชิก n ตัว จำนวนเหตุการณืทั้งหมดของการทดลองสุ่มคือ 2n เหตุการณ์

1. ในการจับฉลาก 1 ใบ จาก 10 ใบ ซึ่งมีเลข 0-9 อยู่ จงหาเหตุการณ์ที่จับฉลากได้จำนวนคี่

วิธีทำ S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

เลขคี่ คือ 1 3 5 7 9

ดังนั้น E = { 1,3,5,7,9 }

2. ไพ่ 1 สำรับ มี 52 ใบจงหาเหตุการณ์ที่ ได้ ดอกจิก5
E = { ดอกจิก5}