ความน่าจะเป็น (Probability)

ในการพิจารณาว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใดนั้น สามารถทำได้ 2 วิธี ได้แก่

1. ทำการทดลองสุ่มนั้นซ้ำๆ กัน เป็นจำนวนอนันต์ (Infinity)

ซึ่งจะสมมติให้   N แทน จำนวนครั้งของการทดลองสุ่ม

nแทน จำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ E ที่สนใจ

และ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ E ที่สนใจ

พบว่า อัตราส่วน n/N จะบอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ E ที่สนใจ มีดอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด

ดังนั้น P(E)= limit ของ n/N เมื่อ N เข้าสู่ infinity

ซึ่งเราจะพบว่า จำนวนครั้งที่ทำการทดลองสุ่มยิ่งมากเท่าใด ก็จะได้ความน่าจะเป็นที่น่าเชื่อถือมากยิ่งขึ้นเท่านั้น

2. ใช้วิธีการหาความน่าจะเป็นโดยการคำนวณจากแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ที่สนใจของการทดลองสุ่มนั้นโดยหาอัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณี่สนใจกับจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ โดยแซมเปิลสเปซที่ใช้ในการคำนวณจะต้องเป็นเซตจำกัดและประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ข้อกำหนด      n(S) แทน จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซS ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน

n(E) แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของ S

และ     P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E

ดังนั้น   P(E) = n(E) / n(S)

หมายเหตุ       ข้อกำหนดนี้ ใช้คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จาดแซมเปิลสเปซที่เป็นเซตจำกัด และสมาชิกแต่ละตัว มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน

ในอีกทางหนึ่ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่บิกให้ทราบว่าตุการณ์ที่เราสนใจมีดอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด กล่าวคือ

ถ้า      P(E) = 0         เหตุการณ์ E จะไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย

P(E) = 1          เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นแน่นอน

P(E) = 0.5       เหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน

P(E₁) = 0.4  และ P(E₂) = 0.8    เหตุการณ์ E₂ มีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าเหตุการณ์ E₁

นั่นแสดงว่า P(E) มีค่าตั้งแต่ 0-1

1 ในการหยิบไพ่มา 1 ใบ จากไพ่ 1 สำรับ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ

วิธีทำ   สมมติให้ E แทน เหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ

และ S แทน แซมเปิลสเปซ

จะได้ n(E) = 13

และ n(S) = 52

จากสูตร         P(E) = n(E) / n(S)

จะได้             P(E) = 13 / 52

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำเท่ากับ 13/52

 2 ครอบครัวหนึ่งมีลูกสองคน จงหาความน่าจะเป็นของครอบครัวนั้น ถ้า

1. ลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย
2. ไม่มีลูกชายเลย
3. มีลูกชายมากกว่า 1 คน
4. มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน
5. มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน
6. มีลูกชาย 3 คน

วิธีทำ

สมมติให้         E₁ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย

E₂ แทน เหตุการณ์ที่ไม่มีลูกชายเลย

E₃ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชายมากกว่า 1 คน

E₄ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน

E₅ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน

E₆ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 3 คน

และ              S แทน แซมเปิลสเปซ

จากโจทย์ จะได้ S = { (M, M), (M, W), (W, W), (W, M) }

แสดงว่า n(S) = 4

1. E₁= { (W, M) }

จะได้ n(E₁) = 1

ดังนั้น P(E₁) = 1/4

2. E₂ = { (W, W) }

จะได้ n(E₂) = 1

ดังนั้น P(E₂) = 1/4

3. E₃= { (M, M) }

จะได้ n(E₃) = 1

ดังนั้น P(E₃) = 1/4

4. E₄= { (M, W), (W, M), (W, W) }

จะได้ n(E₄) = 3

ดังนั้น P(E₄) = 3/4

5. E₅= { (M, W), (W, M) }

จะได้ n(E₅) = 2

ดังนั้น P(E₅) = 2/4

6. E₆ไม่มี แสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเหตุการณ์แบบนี้ขึ้นเลย

จะได้ n(E₆) = 0

ดังนั้น P(E₆) = 0

ตัวอย่างที่ 3.3 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มน้อยกว่า 4 B เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มตั้งแต่ 3 ขึ้นไปดังนั้น

A = {1,2,3} B = {3,4,5,6}
A U B = {1,2,3,4,5,6} A ∩ B = {3}

ตัวอย่างที่ 3.4 ในการโยนเหรียญปกติ 3 เหรียญ 1 ครั้ง
ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ขึ้นหัวอย่างน้อย 2 เหรียญ
B เห็นเหตุการณ์ที่ขึ้นก้อย 2 เหรียญ
ดังนั้น A = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H)}
B = {(T,H,T),(H,T,T),(T,T,H)}
A U B = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H),(T,H,T),(H,T,T),(T,T,H)}
A ∩ B = Ø
การนับจำนวนจุดตัวอย่าง
การนับจำนวนจุดตัวอย่าง คือ การนับจำนวนสมาชิกทั้งหมดในปริภูมิตัวอย่าง หรือเหตุการณ์ที่สนใจ โดยการนับจำนวนจุดตัวอย่างนั้น มีกรณีที่เกิดขึ้นดังนี้
กรณีที่ 1 เหตุการณ์ใดๆ K เหตุการณ์ ซึ่งประกอบไปด้วยเหตุการณ์ย่อยหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน หรือต่อเนื่องกันก็ได้ แต่ละเหตุการณ์มีอยู่ n_i เหตุการณ์ วิธีการนับจุดตัวอย่างจะทำได้โดยการคูณ (Multiplicative) จะได้ n_(1 ). n_(2 ). . . . n_k เหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 3.5 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมโยนเหรียญปกติ 1 เหรียญ พร้อมกัน จงหาเหตุการณ์
ที่เกิดขึ้นทั้งหมด
กำหนดให้ n_(1) แทน การทอดลูกเต๋า
n_(2) แทน การโยนเหรียญ

วิธีทำ การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง สิ่งที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด 6 เหตุการณ์ คือขึ้นแต้มได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 นั่นคือ
n_(1 ) = 6 การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง สิ่งที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด 2 เหตุการณ์ คือ หัวกับก้อย นั่นคือ
n_(2 ) = 2 ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด = n_(1 )× n_(2 )=6×2=12 เหตุการณ์
ตัวอย่างที่ 3.6 กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่ 25 ลูก แต่ละลูกมีเลขกำกับตั้งแต่ 1 ถึง 25 จงหาเหตุการณ์ในการเลือกหยิบลูกบอลขึ้นมาครั้งละหนึ่งลูก จำนวน 3 ครั้ง โดยหยิบออกมาแล้วไม่ใส่คืนเข้าไปในกล่อง
วิธีทำ การหยิบลูกบอลลูกแรกทำได้ 25 เหตุการณ์
การหยิบลูกที่สองทำได้ 24 เหตุการณ์
การหยิบลูกที่สามทำได้ 23 เหตุการณ์
ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด = 25 × 24 × 23 = 13,800 เหตุการณ์
กรณีที่ 2 เหตุการณ์ใดๆ K เหตุการณ์ ซึ่งประกอบไปด้วยเหตุการณ์ย่อยหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ หรือไม่ต่อเนื่องกัน แต่ละเหตุการณ์มีอยู่ n_i เหตุการณ์ วิธีการนับจุดตัวอย่างจะทำได้โดยการบวก (Additive) จะได้ n_(1 )+ n_(2 )+. . . n_k เหตุการณ์
ตัวอย่างที่ 3.7 ถุงผ้าใบ 1 ถุง มีลูกแก้วอยู่ 4 สี คือ สีแดง 3 ลูก สีฟ้า 6 ลูก สีเหลือง 9 ลูก และสีเขียว 2 ลูก สุ่มหยิบมา 1 ลูก จงหาเหตุการณ์ที่หยิบลูกแก้ว 1 ลูก แล้วได้ลูกแก้วสีแดง หรือสีเหลือง
วิธีทำ ในถุงมีลูกแก้วสีแดง 3 ลูก
ในถุงมีลูกแก้วสีแดง 9 ลูก
ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด = 3 + 9 = 12 เหตุการณ์