ความน่าจะเป็น ( Probability ) เบื้องต้นคณิตศาสตร์ ม.6

ความน่าจะเป็น ( Probability )

ความน่าจะเป็น หรือ Probability ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนักพนันชาวฝรั่งเศสชื่อ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) ซึงนิยมเล่นพนันมาก เดอ เมเร มีปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกันระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์ที่ปราดเปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือปาสคาล (Pascal) และแฟร์มาต์ (Fermat) จนเป็นที่มาของทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน

ความหมายของความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันของทุกคนต้องได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดดจะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูกหวย มาน้อยกว่าจะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัคยก่อนที่ผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรืออารมณ์ในการตัดสินใจอะไรหลายๆอย่าง ซึ่งร้อยคนก็มีความเห็นไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความน่าจะเป็นจึงมีใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้

นิยามของความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N

และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n

โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน

ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ หาได้จากสูตร

P(E)=n(E)/n(S)

เมื่อ P(E) แทนด้วย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆที่เราสนใจ

n(E) แทนด้วย จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ

n(S) แทนด้วย จำนนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

การทดลองสุ่มและเหตุกราณ์

การทดลองสุ่ม คือ การกระทำหรือการทดลองที่ไม่สามารถคาดการณ์คำตอบล่วงหน้าได้ 

ตัวอย่างของการทดลองสุ่ม เช่น

• การโยนเหรียญบาท
• การทอดลูกเต๋า
• การจับสลาก
• การเสี่ยงเซียมซี
• การสอยดาว
• การซื้อหวย    เป็นต้น

     ผลลัพธ์จากการทดลองสุ่ม (Sample  Space)  คือ ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างที่ 1  โยนเหรียญบาท 1  เหรียญ  1  ครั้ง  จงหาผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด

ตอบ  โยนเหรียญบาท  1   เหรียญ  1  ครั้ง  ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้มี  2  แบบ คือ  หัว (H)  และ  ก้อย (T)

ตัวอย่างที่ 2   ทอดลูกเต๋า  1  ลูก  1  ครั้ง จงหาผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด

ตอบ   ทอดลูกเต๋า  1  ลูก  1  ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดมี  6  แบบ คือ  1, 2, 3, 4, 5, 6

เหตุการณ์ (Event)  คือ เหตุการณ์ คือสิ่งที่เราสนใจ(นำมาพิจารณา)จากการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างเช่น  โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง  ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดคือ  ( H,H), ( H,T), ( T,H), ( T,T)

สมมุติ  เราสนใจผลลัพธ์ที่หน้าของเหรียญเหมือน ซึ่งมี 2 แบบ คือ  ( H,H), ( T,T)

     หรือ ถ้าเราสนใจผลลัพธ์ที่หน้าของเหรียญต่างกัน ซึ่งมี 2 แบบเหมือนกัน คือ ( H,T), ( T,H)

1. แดง ดำ เขียว ยืนเข้าแถวเป็นแนวตรง จงหาความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวยืนแยกกัน
S= {(แดง ดำ เขียว) , (แดง เขียว ดำ) , (เขียว แดง ดำ) , (เขียว ดำ แดง) , ( ดำ แดง เขียว) , ( ดำ เขียว แดง )}
ดังนี้ n(S)=6
เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ดำและเขียว ยืนแยกกันคือ
E = {(เขียว แดง ดำ), ( ดำ แดง เขียว)}

นั่นคือ n(E)=2

คำตอบข้อนี้ ความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวจะยืนแยกกันคือ P(E)=2/6=1/3

2. กบสุ่มหยิบลูกกวาด 2 เม็ดพร้อมกันจากถุงใบหนึ่งที่มีลูกกวาดสีแดง 4 เม็ด สีดำ 2 เม็ด จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

2) หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

แทน

r1 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 1

r2 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 2

r3 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 3

r4 คือลูกกวาดสีแดง เม็ดที่ 4

b1 คือลูกกวาดสีดำ เม็ดที่ 1

b2 คือลูกกวาดที่ดำ เม็ดที่ 2

ดังนั้น สุ่มหยิบลูกกวาดออกมา 2 เม็ดพร้อมกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ

S= { ( r1, r2 ) ,( r1 , r3 ) , (r1,r4) , (r1,b1) , (r1,b2) , ( r2 , r3 ) ,(r2,r4) , (r2,b1) ,(r2,b2) , (r3 ,r4) ,(r3 , b1 ) , ( r3 , b2 ) , (r4 , b1 ) ,

(r4 ,b2) , (b1 , b2 ) }

มีทัังหมด 15 แบบ ดังนั้น n(S)= 15

1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

เหตุการที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

E = { ( r1,b1) , (r1,b2) , (r2,b1) , (r2,b2) , (r3,b1) , (r3,b2) , (r4,b1) , (r4,b2) }

ซึ่งมี 8 แบบ หรือ 8 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 8

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

P(E)= n(E)/n(S)=8/15

2. เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

E = {( r1,r2) , (r1,r3) , (r1,r4) , (r2,r3) , (r2,r4) , (r3,r4) }

ซึ่งมี 6 แบบ หรือ 6 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 6

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด คือ

P(E)=n(E)/n(S)=6/15=2/5

 จากการทดลองสุ่มและเราสามารถเขียนทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มได้  โดยอาจใช้แผนภาพช่วย  จากการเล่นข้างต้น  เช่น  การเล่นแบบแรกต้องเอาลูกเต๋าใส่ลงในถ้วยแก้วเขย่าแล้วเทออก  เมื่อเทลูกเต๋าออกมา  ลูกเต๋าอาจหงายหน้าที่ มีแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 หน้าใดหน้าหนึ่งขึ้นมาก็ได้ แต่เราไม่ทราบแน่นอนว่าจะเกิดหน้าใดขึ้น  การกระทำที่เราทราบว่าผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นมีอะไรบ้าง  แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดผลอะไรจากผลทั้งหมดที่เป็นไปได้เหล่านั้น  เรียกว่า การทดลองสุ่ม

แซมเปิลสเปซ(Sample Space)

     คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่มและเป็นสิ่งที่เราสนใจเรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ

จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการทดลองหรือการกระทำใด ๆ ก็ตาม ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกในแซมเปิลสเปซทั้งสิ้น

เหตุการณ์ (Events)

คือ ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากการทดลองสุ่ม นิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษ ตัวพิมพ์ใหญ่แทนเหตุการณ์ ตัวอย่าง เช่น