ความน่าจะเป็น (Probability) 

ความน่าจะเป็น (Probability) 

การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

การทดลองสุ่มคือการทดลองที่เราสามารถจะคาดคะเนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ “โดยรวม” ซึ่งผลลัพธ์โดยรวมนี้คือความน่าจะเป็น แต่ว่าไม่สามารถคาดคะเนผลลัพธ์ได้เฉพาะเจาะจงเป็นรายครั้ง ว่า แต่ละครั้งที่เกิดการทดลอง จะเกิดผลลัพธ์อะไร เช่นเราทดลองทอยลูกเต๋า 6 หน้า และสามารถคาดคะเนได้ว่าเมื่อทอยเป็นพันเป็นหมื่นครั้งแล้ว มีความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นหน้า 1 เป็น 1/6 แต่ว่าเราไม่สามารถที่จะทำนายได้เลยว่า การทอยลูกเต๋าครั้งต่อไป จะขึ้นเลขอะไร

แซมเปิลสเปซ (Sample Space)

คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เป็นขอบเขตที่เราสนใจในการทดลองแต่ละครั้ง นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ มีความหมายว่า ในการทดลองหรือการกระทำใดๆก็ตาม ผลลัพธ์มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นได้ จะต้องเป็นสมาชิกของแซมเปิลสเปซ

เหตุการณ์ (Event)

คือผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าจะเกิดอะไร

1. เหตุการณ์ทั้งหมด n(S) คือ จำนวนผลลัพธ์ในแซมเปิลสเปซ

2  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ =  จำนวนผลลัพธ์ในเหตุการณ์ที่เราสนใจ / จำนวนผลลัพธ์ในแซมเปิลสเปซ

การทดลองสุ่ม ( random experiment ) คือการทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่าง การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย
การทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6

แซมเปิลสเปซ ( sample space ) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

ตัวอย่าง เช่น ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ การขึ้นหัวหรือก้อย
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} เมื่อ (H,T) หมายถึงเหรียญอันที่ 1 ขึ้นหัว และเหรียญอันที่ 2 ขึ้นก้อย

ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ จำนวนก้อยที่ขึ้น จะได้แซมเปิลสเปซ คือ { 0 , 1 , 2 }

เมื่อ 0 หมายถึงไม่ขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน (นั่นคือขึ้นหัวทั้งสองอัน)

1 หมายถึงขึ้นก้อยเพียง 1 อัน (ขึ้นหัว 1 อัน)

2 หมายถึงขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน

เหตุการณ์ ( event ) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ

ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์

คือ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับเท่าใด

หลักการหาความน่าจะเป็น

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน       E เป็นสับเซตของ S

ให้ P(E) เป็นสัญลักษณ์แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) ได้ดังนี้

 P(E)=จำนวนสมาชิกเหตุการณ์  n(E) / จำนวนสมาชิกทั้งหมดของแซมเปิลสเปซ n(S)

ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก หยิบลูกแก้วจากกล่อง 2 ลูก

จงหาเหตุการณ์ที่จะได้ลูกแก้วสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก

เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกแก้วแต่ละลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา

ดังนั้นเราให้ ข₁ , ข₂ , ข₃ เป็นลูกแก้วสีขาว 3 ลูก และ ด₁ , ด₂ เป็นลูกแก้วสีแดง 2 ลูก

แซมเปิลสเปซ S = { ข₁ข₂ ,ข₁ข₃ , ข₁ด₁ ,ข₁ด₂, ข₂ข₃ , ข₂ด₁ , ข₂ด₂ , ข₃ด₁ , ข₃ด₂ , ด₁ด₂ }

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกแก้วสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก

เหตุการณ์ A = { ข₁ด₁ , ข₁ด₂ , ข₂ด₁ , ข₂ด₂ , ข₃ด₁, ข₃ด₂ }

เหตุการณ์ (Event)  คือ เหตุการณ์ คือสิ่งที่เราสนใจ(นำมาพิจารณา)จากการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างเช่น  โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง  ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดคือ  ( H,H), ( H,T), ( T,H), ( T,T)

สมมุติ  เราสนใจผลลัพธ์ที่หน้าของเหรียญเหมือน ซึ่งมี 2 แบบ คือ  ( H,H), ( T,T)

     หรือ ถ้าเราสนใจผลลัพธ์ที่หน้าของเหรียญต่างกัน ซึ่งมี 2 แบบเหมือนกัน คือ ( H,T), ( T,H)

1. แดง ดำ เขียว ยืนเข้าแถวเป็นแนวตรง จงหาความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวยืนแยกกัน
S= {(แดง ดำ เขียว) , (แดง เขียว ดำ) , (เขียว แดง ดำ) , (เขียว ดำ แดง) , ( ดำ แดง เขียว) , ( ดำ เขียว แดง )}
ดังนี้ n(S)=6
เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ดำและเขียว ยืนแยกกันคือ
E = {(เขียว แดง ดำ), ( ดำ แดง เขียว)}

นั่นคือ n(E)=2

คำตอบข้อนี้ ความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวจะยืนแยกกันคือ P(E)=2/6=1/3

2. กบสุ่มหยิบลูกกวาด 2 เม็ดพร้อมกันจากถุงใบหนึ่งที่มีลูกกวาดสีแดง 4 เม็ด สีดำ 2 เม็ด จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

2) หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

แทน

r1 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 1

r2 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 2

r3 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 3

r4 คือลูกกวาดสีแดง เม็ดที่ 4

b1 คือลูกกวาดสีดำ เม็ดที่ 1

b2 คือลูกกวาดที่ดำ เม็ดที่ 2

ดังนั้น สุ่มหยิบลูกกวาดออกมา 2 เม็ดพร้อมกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ

S= { ( r1, r2 ) ,( r1 , r3 ) , (r1,r4) , (r1,b1) , (r1,b2) , ( r2 , r3 ) ,(r2,r4) , (r2,b1) ,(r2,b2) , (r3 ,r4) ,(r3 , b1 ) , ( r3 , b2 ) , (r4 , b1 ) ,

(r4 ,b2) , (b1 , b2 ) }

มีทัังหมด 15 แบบ ดังนั้น n(S)= 15

1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

เหตุการที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

E = { ( r1,b1) , (r1,b2) , (r2,b1) , (r2,b2) , (r3,b1) , (r3,b2) , (r4,b1) , (r4,b2) }

ซึ่งมี 8 แบบ หรือ 8 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 8

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

P(E)= n(E)/n(S)=8/15

2. เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

E = {( r1,r2) , (r1,r3) , (r1,r4) , (r2,r3) , (r2,r4) , (r3,r4) }

ซึ่งมี 6 แบบ หรือ 6 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 6

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด คือ

P(E)=n(E)/n(S)=6/15=2/5

สมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ใน S แซมเปิลสเปซ

1. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

2. P(A U B) = P(A) + P(B) เมื่อ A  B = { }

3. P(A) = 1 – P(A^‘)

4. P(A-B) = P(A) – P(A B)

---

ตัวอย่าง กำหนดให้ P(A) = 0.6 P(B^‘) = 0.4 และ P(A – B) = 0.2 จงหา P(A ^‘  B^‘)

จาก P(B’ ) = 0.4
จะได้ว่า P(B) = 1 – P(B^‘) = 1 – 0.4 = 0.6

จาก P(A) = 0.6 และ P(A – B) = 0.2

เนื่องจาก P(A) = P(A – B) + P(A  B)

( ถ้านักเรียนไม่เข้าใจให้เขียนแผนภาพทางด้านเซตดู )

0.6 = 0.2 + P(A  B)

P(A  B) = 0.4

เนื่องจาก P(A^‘  B^‘) = P( A U B)^‘

= 1 – P(A U B)

จากสมบัติความน่าจะเป็น P(A^‘  B^‘) = 1 – [ P(A) + P(B) – P(A  B) ]

= 1 – [ 0.6 + 0.6 – 0.4] = 1 – 0.8 = 0.2