ความน่าจะเป็น ( Probability )

ความน่าจะเป็น ( Probability )

ความน่าจะเป็น หรือ Probability ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนักพนันชาวฝรั่งเศสชื่อ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) ซึงนิยมเล่นพนันมาก เดอ เมเร มีปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกันระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์ที่ปราดเปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือปาสคาล (Pascal) และแฟร์มาต์ (Fermat) จนเป็นที่มาของทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน

ความหมายของความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันของทุกคนต้องได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดดจะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูกหวย มาน้อยกว่าจะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัคยก่อนที่ผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรืออารมณ์ในการตัดสินใจอะไรหลายๆอย่าง ซึ่งร้อยคนก็มีความเห็นไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความน่าจะเป็นจึงมีใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้

หลักการบวกและการคูณ

ในการที่เราจะนับจำนวนสิ่งของ เหตุการณ์ หรือ จำนวนวิธีในการทำงานบางอย่าง อาจจะสามารถนับได้โดยตรง แต่หากสิ่งที่จะนับมีจำนวนมาก อาจจะทำให้การนับโดยตรงนั้นทำได้ยาก จึงมีหลักการนับ เพื่อช่วยให้การนับสิ่งที่มีจำนวนเยอะ ทำได้ง่ายขึ้น 

หลักการบวก 

หลักการคูณ

การเรียงสับเปลี่ยน

หากมีสิ่งของอยู่ n ชิ้นแตกต่างกัน  หากต้องการจะนำสิ่งของ r ชิ้นจากสิ่งของที่มีอยู่
นำมาเรียงลำดับจะได้ว่า

ขั้นตอนที่ 1 เลือกของชิ้นที่ 1 มาวาง ซึ่งจะเป็นชิ้นใดก็ได้ มี n ชิ้น
ขั้นตอนที่ 2 เลือกของชิ้นที่ 2 มาวาง โดยเป็นชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ 1 มี n-1 ชิ้น
ขั้นตอนที่ r เลือกของชิ้นที่ r โดยเป็นชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ r-1 มี n-r+1 ชิ้น

การจัดหมู่

การเลือกกลุ่มของสิ่งของมา โดยไม่คำนึงถึงลำดับในการเรียงของสิ่งของในกลุ่มที่เลือกมา
หากกลุ่มใดมีสิ่งของในกลุ่มเหมือนกัน จะนับเป็นการจัดหมู่เพียง 1 วิธี 

การทดลองสุ่มและเหตุการณ์
การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้ว่า
ในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านั้น

เช่น การทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง แต้มที่ปรากฏอาจเป็น 1-6 แต่ไม่สามรถบอกได้ว่าจะเป็นเลขใด
เรียกการทอดลูกเต๋าว่า การทดลองสุ่ม และเซตแต้มที่อยู่บนหน้าลูกเต๋าว่า

ปริภูมิตัวอย่าง หรือ แซมเปิลสเปซ

ในทางสถิติ ค าว่า “การทดลอง (Experiment)” หมายถึงกระบวนการในการที่จะก่อให้เกิดชุด
ของข้อมูล ชุดของข้อมูลในที่นี้หมายถึงผลทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่เกิดขึ้นจากการทดลอง ตัวอย่างเช่นใน
การทดลองโยนเหรียญ 1 เหรียญ ผลที่เกิดขึ้นเป็นไปได้ 2 แบบด้วยกันคือ หัวหรือก้อย ในการทดลอง
โยนลูกเต๋า 1 ลูก ผลที่เกิดขึ้นก็จะเป็นไปตามแต้มของลูกเต๋า ผลของการทดลองที่ออกมาแตกต่างกัน
นั้น สะท้อนให้เห็นถึงความหมายของค าว่า “ความไม่แน่นอน (Uncertainty)” ความน่าสนใจจะอยู่ที่
การศึกษาโอกาส (Chance) หรือความน่าจะเป็นของการที่จะเกิดผลเป็นแบบใดแบบหนึ่งว่าเป็นเท่าใด
8.1 สเปซตัวอย่าง (Sample Space)
นิยาม 8.1 เซตของผลที่เป็นได้ทั้งหมดจากการทดลองจะเรียกว่า สเปซตัวอย่าง และเขียนแทนด้วยเซต
S ผลของการทดลองแต่ละแบบเรียกว่าเป็นสมาชิก (Element) หรือจุดตัวอย่าง (SamplePoint)
ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ
S = {H, T} โดยที่ H หมายถึง หัวและ T หมายถึง ก้อย
ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าสนใจแต้มบนลูกเต๋า จะได้
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
แต่ถ้า สนใจว่าเป็นแต้มคู่หรือคี่ จะได้
S = {คู่, คี่}
ในการทดลองท าข้อสอบปรนัย 3 ข้อถ้าสนใจว่าท าถูกหรือผิด จะได้
S = {TTT, TTF, TFT, FTT, FFT, FTF, TFF, FFF}
โดยที่ T หมายถึงท าข้อสอบถูกและ F หมายถึงท าข้อสอบผิด
แต่ถ้าสนใจจ านวนข้อที่ท าถูก จะได้
S = {0, 1, 2, 3}
ข้อสังเกต จะเห็นได้ว่าในการทดลองหนึ่งๆ สเปซตัวอย่างอาจมีได้หลายแบบ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความ
สนใจผลของการทดลองว่าเป็นแบบใด 114
8.2 เหตุการณ์ (Events)
ในการทดลองนั้นบางครั้งสิ่งที่สนใจอาจเป็นแค่ผลของการทดลองบางส่วน จากผลที่เป็นไป
ได้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่นในการโยนเหรียญ 3 เหรียญ ถ้าพิจารณาถึงจ านวนเหรียญที่ขึ้นหัว จะได้
ว่าสเปซ ตัวอย่าง S = {0, 1, 2, 3} แต่สิ่งที่สนใจ อาจเป็นแค่จ านวนเหรียญที่ขึ้นหัวไม่เกิน 1 เหรียญ เป็นต้น
นิยาม 8.2 เหตุการณ์ หมายถึง เซตย่อย (Subset) ของสเปซตัวอย่าง
ตัวอย่างเช่น ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก
สเปซตัวอย่าง S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
ถ้า E1
เป็นเหตุการณ์ที่แต้มบนลูกเต๋ามากกว่า 2จะได้ว่า
E1= {3, 4, 5, 6}
ถ้า E2
เป็นเหตุการณ์ที่แต้มบนลูกเต๋าเป็นเลขคี่จะได้ว่า
E2= {1, 3, 5}