ความสัมพันธ์
คู่อันดับ และผลคูณคาร์ทีเซียน
| • คู่อันดับ | |||||
|
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้ |
|||||
| สมบัติของคู่อันดับ | |||||
| 1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b | |||||
| 2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d | |||||
| 3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d | |||||
| • ผลคูณคาร์ทีเซียน | |||||
|
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B |
|||||
| นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B } | |||||
| สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน | |||||
| กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว | |||||
|
1. |
A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A | ||||
| A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø | |||||
| A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø | |||||
| 2. | A × Ø = Ø × A = Ø | ||||
| 3. | A × ( B ∪ C )
|
= (A× B) ∪(A × C) | |||
|
|
(A ∪ B) × C | = (A× C) ∪(B × C) | |||
| 4. | A × ( B ∩ C ) | = (A× B) ∩ (A × C) | |||
| (A ∩ B) × C | = (A× B) ∩ (B × C) | ||||
| 5. | A × ( B – C ) | = (A× B) – (A × C) | |||
| (A – B) × C ) | = (A× C) – (B × C) | ||||
กราฟของความสัมพันธ์
| ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้ | ||
| บทนิยาม |
|
|
| ตัวอย่างที่ 1 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้ | |
| A = {1, 2, 3, 4} | |
| วิธีทำ | r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} |
| ตัวอย่างที่ 2 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| r = { (x,y) ∈ R × R | y = x – 1} | |
| วิธีทำ |
| ตัวอย่างที่ 3 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| วิธีทำ | r = { (x,y) ∈ R × R | -1 < y ≤ 2 } |
| ตัวอย่างที่ 4 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| วิธีทำ | r = { (x,y) ∈ I × I | x + y < 1 } |
อินเวอร์สของความสัมพันธ์
|
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1 |
|||||||||
| การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้ | |||||||||
| วิธีที่ 1 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม | ||||||||
| ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
|
r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
| วิธีที่ 2 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม | ||||||||
| ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
| r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 3y – 1} | |||||||||
|
|
||||||||
|
สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์ |
||||||
|
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B |
||||||
| 1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A | ||||||
| 2. D r = R r-1 และ R r = D r-1 | ||||||
|
กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ |
||||||
|
เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้ |
||||||
| วิธีที่ 1 | ||||||
| 1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1 | ||||||
| 2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1 | ||||||
| ตัวอย่างเช่น |
r = {(x, y) ∈ R × R | y = | x | + 2} |
|||||
|
r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = | y | + 2} | |||||
| วิธีที่ 2 | ||||
| 1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r | ||||
| 2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y | ||||
ฟังก์ชัน
ความหมายของฟังก์ชัน
| ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน | |||
|
|||
| หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่ | |||
| 1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน | |||
| 2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน |
|||
| 3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน |
| • ฟังก์ชันจาก A ไป B | ||
| f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B | ||
| • ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B | ||
| f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B | ||
| • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B | ||
| f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : A ไป B หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2 |
||
| • ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด | ||
| ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df | ||
| ♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A | ||
|
||
| ♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A | ||
|
||
