ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน คณิตศาสตร์ ม. ปลาย

คู่อันดับ

คู่อันดับ หมายถึง การจับคู่สิ่งของสองสิ่งโดยถือลำดับเป็นสิ่งสำคัญ
ถ้า a , b เป็นสิ่งของสองสิ่ง คู่อันดับ a , b เขียนแทนด้วย (a , b) เรียก a ว่า สมาชิกตัวหน้า และ b เรียกว่า สมาชิกตัวหลัง

ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product)

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a , b) ทั้งหมดที่เป็นไปได้ โดยที่ a  A และ b  B  เขียนแทนด้วย A × B

หมายเหตุ
1. A × B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
2. n (A × B) = n(A) × n(B)

ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ จาก เซต หนึ่ง (โดเมน) ไปยังอีกเซตหนึ่ง (โคโดเมน ไม่ใช่ เรนจ์) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน ความคิดรวบยอดของฟังก์ชันนี้เป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d                                                                                       

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า

ความสัมพันธ์ (Relation)
r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

1. โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย D_r ดังนั้น D_r = {x | (x, y) ε r}
2. เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R _rดังนั้น  R_r = {y | (x, y) ε r}

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

สัญลักษณ์         อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r^-1
เขียน r^-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้  r^-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r^-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

สมบัติของผลค ูณคาร์ทีเชียล
ก าหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ
1. AxB BxA
2. Ax⏀=⏀xA=⏀
3. AxB=BxA ก็ต่อเมื่อ A=B หรือ A=⏀ หรือ B=⏀
4. Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
5. Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
6. Ax(B-C)=(AxB)-(AxC)
7. ถ้า A และ B เป็นเซตจ ากัดแล้ว n(AxB) = n(A) x n(B)
8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจ ากัด ซึ่ง B 0 แล้ว AxB และ BxA เป็น
เซตอนันต์
Ex. กำหนด A={1,2,3} , B={a,b} จงหา AxB, BxA, AxA, BxB
AxB = ? ลองหาคำตอบ
BxA =? ลองหาคำตอบ
AxA = ? ลองหาคำตอบ
BxB = ? ลองหาคำตอบ
ถ้า A และ B เป็นเซตจ ากัด AxB จะมีจ านวนสมาชิกของ A คูณด้วยจ านวนสมาชิกของ
B เช่น ถ้าจ านวนสมาชิกของ A เท่ากับ 3 จ านวนสมาชิกของ B เท่ากับ 2 ดังนั้น จ านวนของ
สมาชิกของ AxB = 3×2 = 6

ความสัมพันธ์
– r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r⊂AxB
– r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A ก็ต่อเมื่อ r⊂AxA
– จำนวนความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เท่ากับ 2
n(AxB)
– เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เนื่องจาก ⏀⊂AxB

Ex. ให้ A = {x | x เป็นจ านวนเฉพาะ} , B={x | x เป็นจ านวนเต็มบวก}
กำหนดให้ r1 และ r2
เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
r1 = {(x,y) ∊ AxB | y=2x}
r2 = {(x,y) ∊ AxB | y=x2

พิจารณาความสัมพันธ์

r₁   =   {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}

r₂  =   {(x,y)  I⁺x I⁺ | y = x }

เซตสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์  r ₁  คือ  {1,2,3,4}  เรียกเซตนี้ว่า   โดเมนของ r₁

เซตสมาชิกตัวหลังของความสัมพันธ์  r ₁  คือ  {2,3,4,5}  เรียกเซตนี้ว่า   เรนจ์ของ r₁

ส่วน  r₂ มีโดเมนและเรนจ์เท่ากับจำนวนเต็มบวก

บทนิยาม    ให้  r  เป็นความสัมพันธ์จาก  A ไป B

โดเมนของ  r  คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r  เขียนแทนด้วย  D_r

เรนจ์ของ  r   คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r   เขียนแทนด้วย  R _r

 

ตัวอย่างที่ 1  กำหนดให้  A  =  {-2,-1,0,1,2}     ,  B  =  {1,2,3,4}

กำหนด   r   =  {(x,y)  A x B | y = x²+1}     จะได้

r    =  {(-1,2),(0,1),(1,2)}

ดังนั้น   D _r  =  {-1,0,1}  ,   R _r =  {2,1}

ตัวอย่างที่ 2     จงหา โดเมนและเรนจ์ ของ  r  เมื่อกำหนด    r  =  {(x,y)|  RxR | x+y = 5}

วิธีทำ    หาโดเมน จัดรูป y ในเทอม x   จะได้    y  =  5 – x    จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า x ด้วยจำนวนจริงใดๆจะหาค่า y ได้เสมอ   ดังนั้น  โดเมนคือจำนวนจริง  หรือ เขียนในรูปเงื่อนไขได้เป็น    D_r =  { x|x  R }

             หาเรนจ์    จัดรูป  x ในเทอม  y  จะได้  x = 5 – y   จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า y ด้วยจำนวนจริงใดๆจะหาค่า x ได้เสมอ   ดังนั้น  เรนจ์คือจำนวนจริง  หรือ เขียนในรูปเงื่อนไขได้เป็น          R _r =  { x|x  R }