ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน(Relations and Functions)

บทนิยาม    r  เป็นความสัมพันธ์จาก   A  ไป  B  ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ  A x B

นั่นคือ  ความสัมพันธ์เป็นเซตของคู่อันดับ

( s, { c1, c2, c4 } ) ซึ่งเป็นสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน S x P(C) โดยที่ P(C) คือเพาเวอร์เซตของเซต C

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = { a, b } จงหา A x P(A)

วิธีทำ พิจารณา P(A) = { { }, {a}, {b}, { a, b } } จะได้ว่า

A x P(A) = { (a, { }), (a, {a}),  (a, {b}), (a, { a, b }), (b, { }), (b, {a}),  (b, {b}), (b, { a, b }) }

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า A และ B เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3  และ 5 ตามลำดับจำนวนความสัมพันธ์ของ A และ B ที่แตกต่างกันมีค่าเท่าใด

วิธีทำ เนื่องจาก n(A) = 3 และ n(B) = 5 จะได้ว่า n( A x B ) = 15 ความสัมพันธ์คือการเลือกหรือรวบรวมผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B นั้นคือเซตย่อยของ A x B ดังนั้นจำนวนความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวนเซตย่อยของ A x B เท่ากับ 2¹⁵

ความสัมพันธ์ทวิภาค

ความสัมพันธ์ทวิภาคเป็นการรวบรวมสมาชิกของเซต 2 เซตที่สัมพันธ์กันอาจจะเป็นเซตเดียวกันหรือต่างเซตกันก็ได้ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ A = {1,2,3,4,5} และ B = {2,4} การจับคู่กับระหว่างเซต A และ B หรือผลคูณคาร์ทีเซียน

A x B = { (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,4), (5,2), (5,4) }

จะเห็นว่ามีการจับคู่ได้ทั้งหมด 10 แบบ แต่หากเราต้องการรวบรวมสมาชิกในเซต A และ B โดยที่สมาชิกในเซต A มีค่าน้อยกว่าสมาชิกในเซต B จาก A x B จะได้คู่อันดับ (1,2), (1,4), (2,4) และ (3,4) กำหนดใด้ R เป็นความสัมพันธ์ของเซต A และ B โดยที่สมาชิกในเซต A มีค่าน้อยกว่าสมาชิกในเซต B จะได้ว่า

R = { (1,2), (1,4), (2,4), (3,4) }

ให้ R1 เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเซต A และเซต B โดยที่สมาชิกในเซต B หารสมาชิกในเซต A ได้ลงตัว

R1 = { (2,2), (4,2), (4,4) }

ให้ R2 เป็นความสัมพันธ์บนเซต A (ระหว่างเซต A และเซต A) โดยที่สมาชิกตัวค่าแรกมีค่าน้อยกว่าค่าที่ 2

R2 = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,4), (3,4), (3,5), (4,5) }

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

โดเมนและเรนจ์

ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}

1. โดเมนของความสัมพันธ์ r  คือ  เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับของความสัมพันธ์  r

เขียนแทนด้วย  D_r

2. เรนจ์ของความสัมพันธ์  r  คือ  เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่อันดับของความสัมพันธ์  r

เขียนแทนด้วย  R_r

3. การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์   สามารถทำได้ดังนี้

3.1          กรณีความสัมพันธ์สามารถเขียนในรูปแจกแจงสมาชิกได้

โดเมน  คือ  สมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับของความสัมพันธ์

เรนจ์  คือ  สมาชิกตัวหลังในคู่อันดับของความสัมพันธ์

3.2          กรณีความสัมพันธ์ไม่สามารถเขียนในรูปแจกแจงสมาชิกได้

3.2.1   การหาโดเมน   ควรเขียนความสัมพันธ์ให้อยู่ในรูปของ

y   =   เทอมของ  x

แล้วพิจารณาว่า  ภายในเซตที่กำหนดให้  x  มีค่าอะไรบ้างที่ทำให้หาค่า  y  ได้

โดยที่  y  นั้นต้องอยู่ภายในเซตที่กำหนดให้  ค่า  x  เหล่านั้นจะเป็นสมาชิก

ในโดเมน

3.2.2   การหาเรนจ์   ควรเขียนความสัมพันธ์ให้อยู่ในรูปของ

x   =   เทอมของ  y

แล้วพิจารณาว่า   y  มีค่าเป็นอะไรบ้างที่ทำให้หาค่า  x  ได้  โดยที่  x  นั้น

ต้องอยู่ภายในเซตที่กำหนดให้   ค่า  y  เหล่านั้น  จะเป็นสมาชิกในเรนจ์

การเขียนกราฟความสัมพันธ์แบบบอกเงื่อนไข

รูปแบบการเขียนแบบบอกเงื่อนไขจะเป็นเหมือนกับการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข เช่น A = {x : x ∈ R} และ B = {y : y ∈ } เป็นต้น เรามักจะใช้ในกรณีที่ไม่สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกทั้งหมดได้ กรณีที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกได้ทั้งหมด เช่น x เป็นจำนวนจริง จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงนั้นมีเยอะมาก บอกไม่หมดแน่ๆ จึงต้องเขียนแบบบอกเงื่อนไขนั่นเอง

เรามาดูตัวอย่างการเขียนกราฟกันค่ะ

ให้ A = {x : x ∈ R} และ B = {y : y ∈ R}

กำหนด r ⊂ A × B และ r = {(x, y) ∈ A × B : y = 2x²+1}

ขั้นที่ 1 ให้ลองแทนค่าของจำนวนเต็มบวก x ลงในสมการ y = x²  ที่ต้องแทน x เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะเงื่อนไขในเซต A นั่นเอง

แทน x = 0, 1, 2, 3, 4

x = 0 ; y = 1

x = 1 ; y = 2(1)²+1 = 3

x = 2 ; y =2 (2)² +1= 9

x = 3 ; y = 2(3)² +1= 19

x = 4 ; y = 2(4)² +1= 33

ขั้นที่ 2 เมื่อเราแทนค่า และได้ค่า y มาแล้ว ให้เราเขียนคู่อันดับที่เราได้จากขั้นที่ 1

จะได้คู่อันดับ ดังนี้ (0, 1), (1, 3), (2, 9), (3,19), (4, 33)