ความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์)- คลังความรู้ ม.ปลาย คณิตศาสตร์ ม.4
ความสัมพันธ์ คู่อันดับ (Ordered Pairs)
คู่อันดับ คือ สัญลักษณ์ที่แสดงการจับคู่กันระหว่างสิ่ง 2 สิ่ง เช่น ระยะทางกับเวลา ถ้าเราจะแสดงการจับคู่ระยะทาง (กิโลเมตร) กับเวลา (ชั่วโมง) เราจะเขียนระยะทางกับเวลาลงในวงเล็บเล็ก และคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น (200, 4) จะหมายถึงระยะทาง 200 กิโลเมตร ต้องใช้เวลา 4 ชั่วโมง เป็นต้น
คู่อันดับ ประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว คือ สมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง หรือสมาชิกตัวที่หนึ่งและสมาชิกตัวที่สอง
ตัวอย่างของคู่อันดับ
(a, b) อ่านว่า คู่อันดับเอบี
a เป็นสมาชิกตัวหน้าหรือสมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อันดับ (a, b)
b เป็นสมาชิกตัวหลังหรือสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับ (a, b)
(3, 9) อ่านว่า คู่อันดับสามเก้า
3 เป็นสมาชิกตัวหน้าหรือสมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อันดับ (3, 9)
9 เป็นสมาชิกตัวหลังหรือสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับ (3, 9)
การเขียนคู่อันดับจะสลับที่สมาชิกไม่ได้ จะทำให้ความหมายเปลี่ยนไป เช่น (a, b) เป็น (b, a) โดยทั่วไป (a, b) ไม่เท่ากับ (b, a) ยกเว้น a = b
การเท่ากันของคู่อันดับ
บทนิยาม คู่อันดับ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d เมื่อ a, b, c, d เป็นจำนวนจริงใด ๆ
ความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์ เป็นเซตซึ่งสมาชิกในเซตคู่อันดับหรือความสัมพันธ์เป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซตสองเซต การเขียนแสดงความสัมพันธ์อาจเขียนในรูป แผนภาพ เซตสมการ ตาราง และกราฟก็ได้
ถ้าให้ A = {3, 4} และ B = {3, 4, 5} จะได้ว่า
A x B = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5)}
และถ้าให้ r เป็นเซตของคู่อันดับที่เกี่ยวข้องกันแบบ น้อยกว่า จะได้
r = {(3, 4), (3, 5), (4, 5)} เราเรียก r ว่าเป็นความสัมพันธ์แบบ น้อยกว่า จาก A ไป B
ลักษณะของความสัมพันธ์ r นั้น ต้องเป็นเซตของคู่อันดับที่ได้มาจากสมาชิกใน A x B และมีความสัมพันธ์เงื่อนไขที่กำหนด ซึ่งสามารถนิยามความสัมพันธ์ได้ดังนี้
บทนิยาม ให้ A และ B เป็นเซต r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B
ตัวอย่าง กำหนด A = {2, 3}, B = {4, 6, 9} และให้
r1 แทนความสัมพันธ์ เป็น สองเท่า จาก A ไป B
r2 แทนความสัมพันธ์ เป็น หารลงตัว จาก A ไป B
r3 แทนความสัมพันธ์ เป็น รากที่สอง จาก A ไป B
วิธีทำ A x B = {(2, 4), (2, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (3, 9)}
จะได้ r1 = {}
r2 = {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (3, 9)}
r3 = {(2, 4), (3, 9)}
สรุป
1. ความสัมพันธ์เป็นเซต
2. เซตที่เป็นความสัมพันธ์ต้องมีสมาชิกเป็นคู่อันดับ
3. คู่อันดับที่อยู่ในความสัมพันธ์จะต้องอยู่ในกฎเกณฑ์ที่กำหนด
4. ถ้า A มีสมาชิก m ตัว และ B มีสมาชิก n ตัวจะได้ว่า A x B จะมีสมาชิก mn ตัว และ สับเซตของ A x B จะมี 2mn สับเซต ดังนั้น ความสัมพันธ์จาก A ไป B จะมี 2mn ความสัมพันธ์
