ความสัมพันธ์ คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน

ความสัมพันธ์ คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเชียน

เป็นการกระทำกันระหว่างเซต 2 เซต โดยผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย A×B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนอยู่ในรูปแบบ

A×B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B}

สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน

ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A

• A×{} = {}
• {}×A = {}
• A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
• A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
• A×(B-C) = (A×B) – (A×C)
• n(A×B) = n(A).n(B)

ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}

ผลคูณคาร์ทีเซียน

นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B คือ {(a, b) : a ∈ A และ b ∈ B} เขียนแทนด้วย A × B

แปลให้เข้าใจง่าย ผลคูณคาร์ทีเซียนก็คือ คู่อันดับเซตใหม่ที่เกิดจากการเอาสมาชิกใน A และ B มาจับคู่กัน โดยสมาชิกตัวหน้ามาจาก A และสมาชิกตัวหลังมาจาก B

ตัวอย่าง A = {1, 2, 3}  B = {a, b}

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

B × B ={(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

เราสามารถหาจำนวนคู่อันดับผลคูณคาร์ทีเซียนได้ ด้วยสูตร n(A×B) = n(A) × n(B)

จะได้ว่า n(A×A) = 3 × 3 = 9      n(A×B) = 3 × 2 = 6     n(B×B) = 2 × 2 = 4

ความสัมพันธ์

บทนิยามของความสัมพันธ์

ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ เราจะบอกว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A × B

หมายความว่า คู่อันดับใดๆใน r จะเป็นความสัมพันธืจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ เซตของคู่อันดับเหล่านั้นเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน A × B นั่นเอง

เช่น  A = {2, 4, 6}  B = {a, b}

จะได้ว่า  A × B = {(2, a), (2, b), (4 a), (4, b), (6, a), (6, b)}

……………………………………………………………………………………………………………………..

 = {(1, a), (2, b), (3, b)} เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เพราะ {(1, a), (2, b), (3, b)} ⊂ A × B

 = {(1, a), (1, b), (2, a), (1, 1)} ไม่เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เพราะ (1, 1) ไม่เป็นสมาชิกของ A × B นั่นคือ {(1, a), (1, b), (2, a), (1, 1)} ⊄ A × B

ความสัมพันธ์ r ข้างต้นเป็นการเขียนความสัมพันธ์แบบแจกแจงสมาชิก 

การเขียนความสัมพันธ์ r แบบบอกเงื่อนไข

ให้ A = {1, 2, 3}  B = {1, 2}  และความสัมพันธ์ r = {(x, y) ∈ B × A : x < y}

เราจะได้ B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

จากเงื่อนไข x < y

ให้เราพิจารณาว่าจากผลคูณคาร์ทีเซียนข้างต้นกว่า มีคู่ไหนตรงตามเงื่อนไขบ้าง

จะได้คู่อันดับ ดังนี้  (1, 2), (1, 3), (2, 3) ดังนั้นจะได้ว่า r = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}

ทำไมถึงต้องพิจารณาเงื่อนไขจากผลคูณคาร์ทีเซียน?

เพราะว่า r นั้นเป็นคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ B × A นั่นเอง

และเรายังได้อีกว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

เรามาดูตัวอย่างอีกหนึ่งข้อกันค่ะ

ให้ A ={1, 2, 4, 5}   B = {1, 2, 5} และให้ r = {(x, y) ∈ A × B : 2x < y}

จะเขียนคู่อันดับของ r

ถ้าให้เซต  A = {1,2,3}  และ  B  =  {a,b}   ถ้าเขียนคู่อันดับโดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นสมาชิกของเซต A  และสมาชิกตัวหลังเป็นสมาชิกของเซต  B  แล้ว  จะได้เซตคู่อันดับทั้งหมดดังนี้

{(1,a),(1,b),(2,a),(2b),(3,a),(3,b)}   เรียกเซตนี้ว่า “ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ  A  และ B “  เขียนแทนด้วย 

A x B  อ่านว่า   เอ คูณ บี

       บทนิยาม    ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต  A  และ  B  คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด  โดยที่ a  เป็นสมาชิกของเซต  A  และ  b  เป็นสมาชิกของเซต  B

      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต  A  และ  B  เขียนแทนด้วย   A x B

เขียน   A x B   ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้

A X B   =  {(a,b)| a∈ A  และ  b ∈ B}

ตัวอย่างที่ 3      A  =  {2,4,6}  ,  B  =  {a,b}

ดังนั้น     A x B  =  {(2,a),(2,b),(4,a),(4,b),(6,a),(6,b)}

n(AxB)   =  6

B x A   =  {(a,2),(a,4),(a,6),(b,2),(b,4),(b,6)}

n(AxB)   =  6

A x A   =  {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}

n(AxA)   =  9

 

ข้อสังเกต   1. ถ้า  A  มีจำนวนสมาชิก n ตัว ;  B  มีจำนวนสมาชิก  m  ตัว แล้ว  AxB    มีจำนวน สมาชิกทั้ง   หมดเท่ากับ  nm

2.  ถ้า  n(A) = n  ตัว  และ  n(B) = m  ตัว   ความสัมพันธ์จาก A ไป B ทั้งหมดเท่ากับ  2^nm

เรื่อง ความสัมพันธ์ คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
ค าชี้แจง จงตอบค าถามต่อไปนี้ ให้ถูกต้องสมบูรณ์
1. จงหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B ต่อไปนี้
(1) A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}
(2) A = {3, 4}, B = {a, b, c}
(3) A = {a, b}, B = {3, 4, 5, 6}
(4) A = {a, b, c}, B = {2, 4}
(5) A = {m, n}, B = {x, y}
2. จงหาค่าของตัวแปรในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) (x, y) = (6, 9)
(2) (x – 2, 4) = (8, y + 2)
(3) (-3, a) = (b – 4, 6)
(4) (x + y, x – y) = (6, 4)
(5) (2x, y) = (16, 2)

3. ก าหนด A = {1, 3} และ B = {5, 7, 9} แล้วจงหา
(1) A ∈ B (2) B Χ A
(3) A ∈ A (4) B Χ B
4. จงเขียนความสัมพันธ์แต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปแจกแจงสมาชิก
(1) r1 = {(x, y) ∈  I Χ I+| y2= x}
(2) r3 = {(x, y) ∈  I Χ I | y2= 1 – x2}
(3) r2 = {(x, y) ∈ Av A | y = x – 4 } เมื่อ A = {2, 5, 6, 10}
5. จงเขียนความสัมพันธ์ของ r ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เมื่อ A = {1, 2, 3, 4} และ r เป็นความสัมพันธ์ใน A
(1) r = {(4, 2), (1, 1)}
(2) r = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
(3) r = {(3, 1)}

บทนิยาม ให้ A และ B เป็นเซต r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ
r เป็นสับเซตของ A ∈ B
ตัวอย่างที่ 2 ก าหนด A = {2, 3} , B = {4, 6, 9} และให้
r1 แทนความสัมพันธ์ “สองเท่า” จาก A ไป B
r2 แทนความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก A ไป B
r3 แทนความสัมพันธ์ “รากที่สอง” จาก A ไป B
วิธีท า A Χ B = {(2, 4), (2, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (3, 9)}
r1 = { }
r2 = {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (3, 9)}
r3 = {(2, 4), (3, 9)}
ตัวอย่างที่ 3 ก าหนด A เป็นเซตของจ านวนเต็มบวก และ B เป็นเซตของจ านวนจริง
r1 = {(x, y) ∈ A Χ B | y = x + 2}
r2 = {(x, y) ∈ A Χ B | y = 2x}
จงเขียน r1 และ r2
แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีท า จาก r1 = {(x, y) ∈ A Χ B | y = x + 2}
ถ้า x = 1 จะได้ y = 1 + 2 = 3 คู่อันดับคือ (1, 3)
x = 2 จะได้ y = 2 + 2 = 4 คู่อันดับคือ (2, 4)
ท าเช่นนี้เรื่อย ๆ ไป จะได้
r1 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }
จาก r2 = {(x, y) ∈ A Χ B | y = 2x}
ความสัมพันธ์ของ r2
อยู่ภายใต้กฎเกณฑ์ คือ
สมาชิกตัวหลัง = 2 เท่าของสมาชิกตัวหน้า
*** r2 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), . . . }