ความสำคัญการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ทำไมต้องพิสูจน์?

การพิสูจน์ (Proof) มีรากศัพท์มาจากภาษาลาตินที่มีความหมายว่า “ทดสอบ” ในทางคณิตศาสตร์นั้นการพิสูจน์(เชิงคณิตศาสตร์)เป็นการแสดงให้เห็นว่าถ้าหากข้อความ(ประพจน์)หนึ่งเป็นจริงจะทำให้ประพจ์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นผลของสมมติฐานดังกล่าวเป็นจริงด้วย ในทางคณิตศาสตร์นั้นเราจำเป็นที่จะต้องแสดงให้ได้ว่าประพจน์ที่เราต้องการพิสูจน์นั้นเป็นจริงในทุกกรณี สาเหตุหนึ่งที่สำคัญที่จะต้องแสดงว่าเป็นจริงทุกกรณีก็เพราะว่าคณิตศาสตร์แต่ละอย่างจะเป็นการต่อยอดจากคณิตศาสตร์ตัวก่อนหน้า ถ้าเกิดว่าสิ่งที่เราพิสูจน์มามีความผิดพลาดจะทำให้สิ่งที่ต่อยอดมาจากสิ่งๆนั้นผิดไปด้วยทั้งหมด

การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์มีกี่วิธี

ในการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้นสามารถแบ่งออกเป็นหลายวิธี บางทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการมากกว่า 1วิธี

1. การพิสูจน์โดยตรง (Direct proof)

2. การหาข้อขัดแย้ง (Proof by contradiction)

3. การแย้งสลับที่ (Contrapositive)

4. การพิสูจน์โดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical induction)

ผมขอยกตัวอย่างง่ายๆมาพิสูจน์ให้ดูกันนะครับ

ผลบวกของจำนวนเต็มคี่ 2จำนวน จะเป็นจำนวนเต็มคู่

ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มคี่ 2 จำนวน ดังนั้น a จะสามารถเขียนอยู่ในรูป 2x+1 ได้ เมื่อ xเป็นจำนวนเต็ม ในทำนองเดียวกัน b = 2y+1 เมื่อ y เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น a+b = (2x+1)+(2y+1) = 2x+2y+2 = 2(x+y+1) และเราจะเป็นว่า a+b สามารถเขียนอยู่ในรูปของ 2m ได้เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม (หรือก็คือ a+b หาร2 ลงตัว) ดังนั้น a+b จึงเป็นเลขคู่ ▢

ผมขอยกตัวอย่างการพิสูจน์อีก 1ตัวอย่างนะครับ ซึ่งการพิสูจน์นี้จะมีความซับซ้อนกว่าอันข้างบน (ถ้าใครงงก็สามารถข้ามไปอ่านอีกหัวข้อนึงได้เลยครับ)

จำนวนเฉพาะมีมากมายเป็นอนันต์

การพิสูจน์นี้จะใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง
สมมติว่าจำนวนเฉพาะมีจำนวนจำกัดถ้าเรานำจำนวนเฉพาะทั้งหมดมาคูณกันแล้วบวก1 ผลจะออกมาได้เป็น 2 กรณีเท่านั้น
1. จำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ
2. จำนวนนั้นไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (จำนวนประกอบ)

กรณีที่1 จะขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าจำนวนเฉพาะมีจำกัดเนื้องจากว่า จำนวนใหม่ก็เป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ได้อยู่ในสมมติฐานตอนแรก
กรณีที่2 ถ้าจำนวนนั้นเป็นจำนวนประกอบแสดงว่านำนวนนั้นต้องเกิดจากจำนวนเฉพาะตั้งแต่2ตัวขึ้นไปนำมาคูณกัน แต่จำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของจำนวนประกอบนั้นจะอยู่ในสมมติฐานตอนแรกไม่ได้เนื่องจากว่า จำนวนเฉพาะที่อยู่ในสมมติฐานตอนแรกจะไม่สามารถหารจำนวนประกอบที่เกินขึ้นได้ลงตัว

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าจำนวนเฉพาะไม่สามารถมีจำกัดได้ หรือก็คือ จำนวนเฉพาะจะต้องมีมากมายเป็นอนันต์