ความหมายของลิมิตของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง
กำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า “ลิมิตของ f ที่ p คือ L” และเขียนว่า:ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุกๆ x ∈M และ dM(x, p) < δ แล้ว, dN(f(x), L) < ε
ฟังก์ชันค่าจริง

เซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริง โดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี . เช่นเดียวกับ เส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม +∞ และ -∞ เข้าไปด้วย) ก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี 
ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง

ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้วเราจะเขียน  ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, |f(x)-L| < ε

ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.

หรือเราจะเขียน  ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) > R;

หรือจะเขียนว่า  ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.

ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย : และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย :
ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์

จะมีลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์ ถ้า สำหรับ ε > 0 ใดๆ มี S > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ทำให้ |f(x)-L| < ε สำหรับ x > S ใดๆ

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน
ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น  จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน
ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง

สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า

ได้ ก็ต่อเมื่อสำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใดๆ ซึ่ง 0<|x-p|<δ จะได้ |f(x)-L|<ε

นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นระนาบเชิงซ้อน
ลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์

เราจะเขียน

ได้ ก็ต่อเมื่อสำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใดๆ เราจะได้ |f(x)-L|<ε
ตัวอย่าง
ฟังก์ชันค่าจริง
 ลิมิตของ x2 เมื่อ x เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน
 ลิมิตของ xx เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1

 ลิมิตสองด้านของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยาม
ลิมิตของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +∞

 ลิมิตด้านเดียวของ |x|/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า |x|/x = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ |x|/x = 1 เมื่อ x เป็นบวก
 ลิมิตของ x sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 0
 ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใดๆ เข้าใกล้ 0 เมื่อขนาดของ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
 ฟังก์ชันยกกำลังใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
 ฟังก์ชันลอการิทึมใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นบวกใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
 ฟังก์ชันเลขชี้กำลังใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันแฟกทอเรียลใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง
ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |z| < 1 แล้วลำดับ z, z2, z3, … ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ “เวียนเป็นก้นหย” เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)