ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดและเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง n^m จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว

ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง n^m
จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว
หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว

0⁵ = │ {} │ = 0	ไม่มีห้าสิ่งอันดับ จากเซตว่าง
1⁴ = │ { (1,1,1,1) } │ = 1	มีสี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว
2³ = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8	มีสามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว
3² = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9	มีสองสิ่งอันดับ (คู่อันดับ) 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว
4¹ = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4	มีหนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว
5⁰ = │ { () } │ = 1	มีศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

จึงสามารถนิยามว่า

$a^{-n} = (a^n)^{-1} = \frac{1}{a^n}$

กำลังของ 1

กำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1ⁿ = 1

กำลังของ 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0ⁿ = 0; n > 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 0⁰ = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม ดูที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

กำลังของ −1

ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จะได้ (−1)ⁿ = 1

ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะได้ (−1)ⁿ = −1

จากสมบัติดังกล่าว กำลังของ −1 จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับที่มีการสลับเครื่องหมาย ส่วนกรณีที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อน i ดูที่หัวข้อกำลังของจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิด

กรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม

นิยามของ a⁻ⁿ สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ a^maⁿ = a^m+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n
ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
การใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m = −n จะทำให้