ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b ≠ 0
เศษส่วนใด ๆ a/b เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มและ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้ โดยการนำตัวส่วนไปหารตัวเศษ ดังตัวอย่าง
โดยวิธีดังกล่าว เราสามารถเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
1. 5/8 = 0.62500… หรือ 0.6250 ̇
2. 7/15 = 0.4666… หรือ 0.46 ̇
ทศนิยมที่ได้จากตัวอย่างข้างบน เราเรียกว่า ทศนิยมซ้ำ เราสามารถจัดทศนิยมซ้ำเป็น 2 กลุ่ม ดังนี้
ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น 0.6250 ̇
ทศนิยมซ้ำที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น 0.46 ̇
ในทางกลับกัน เราสามารถเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ซึ่งนักเรียนเคยเขียนทศนิยมซ้ำศูนย์ให้อยู่รูปเศษส่วนมาแล้ว เช่น
0.11 = 11/100
-0.137=-137/1000
จากที่กล่าวมาข้างต้น จะเห็นว่า เราสามารถเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำได้และเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังนั้น จึงกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ
นั่นคือ จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน a / b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b ≠ 0
จำนวนอตรรกยะ
คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b≠0
ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ เช่น
1.234567891011121314…
3.432322322…
16.79779777977779…
รากที่สอง
บทนิยาม
ให้ a แทนจำนวนจริงบวกใดๆ หรือศูนย์ รากที่สองของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ a
สำหรับรากที่สองของจำนวนจริงลบจะยังไม่กล่าวถึง เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนจริงลบ
ตัวอย่าง
7 เป็นรากที่สองของ 49 เนื่องจาก 72 = 49
-7 เป็นรากที่สองของ 49 เนื่องจาก (-7)2 = 49
บทนิยาม
ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มีสองราก คือ รากที่สองที่เป็นบวกซึ่งแทนสัญลักษณ์ √a และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ -√a
ถ้า a = 0 รากที่สองของ a คือ 0
จากบทนิยาม จะได้ (√(a))2 = a และ (-√(a))2 = a
√a ซึ่งเป็นรากที่สองที่เป็นบวกของ a อาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า กรณฑ์ที่สองของ a
การหารากที่สอง
การหารากที่สองของจำนวนจริงทำได้หลายวิธี สำหรับวิธีการคำนวณ นักเรียนจะได้เรียนในระดับชั้นที่สูงกว่านี้ สำหรับในชั้นนี้ นักเรียนอาจใช้การแยกตัวประกอบ การประมาณ การเปิดตาราง และการใช้เครื่องคำนวณ ดังจะได้กล่าวต่อไปนี้
การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ
การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบเป็นสิ่งที่ทำได้ง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การหารากที่สองของจำนวนเต็มบวกที่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหารากที่สองของ 400
วิธีทำ
เนื่องจาก 400 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 = (2 × 2 × 5)2 = 202
400 = (-20)2
ดังนั้น รากที่สองของ 400 คือ 20 และ -20
การหารากที่สองโดยการประมาณ การเปิดตารางและการใช้เครื่องคำนวณ
นักเรียนเคยทราบมาแล้วว่า ในการหารากที่สองของจำนวนเต็มบวก เมื่อรากที่สองของจำนวนเต็มบวกนั้น ไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าที่ได้จะเป็นจำนวนอตรรกยะ แต่เพื่อความสะดวกในการนำไปใช้ จึงต้องหาค่าประมาณของจำนวนอตรรกยะนั้น
ในกรณีที่จำนวนที่ต้องการหารากที่สองใกล้เคียงกับจำนวนที่สามารถาหารากที่สองได้โดยง่าย ก็จะประมาณรากที่สองของจำนวนนั้นด้วยรากที่สองของจำนวนที่ใกล้เคียง เช่น
15 ใกล้เคียงกับ 16 และ √16 = 4 ดังนั้น √15 ≈ 4
การประมาณข้างต้น เป็นการประมาณรากที่สองที่เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยจำนวนเต็ม ถ้าต้องการประมาณเป็นทศนิยม นักเรียนจะได้แนวคิดจากการทำกิจกรรมต่อไปนี้
ตารางรากที่สอง
ตัวอย่างตารางแสดงรากที่สองที่เป็นบวกของจำนวนเต็มบวกมีดังนี้
ตารางรากที่สอง
ตามตาราง เมื่อ √n ไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าที่แสดงไว้ในช่อง √n จะเป็นค่าประมาณของจำนวนอตรรกยะ
ถึงแม้ว่าการหารากที่สอง โดยการเปิดตารางจะทำได้ง่าย ก็ยังมีข้อจำกัดที่ไม่สามารถใช้ในการหารากที่สองของจำนวนจริงบวกได้ทุกจำนวน และไม่สามารถหาเป็นทศนิยมหลายตำแหน่งได้ตามต้องการ วิธีหารากที่สองที่สามารถใช้ได้กับทุกจำนวนจริงบวกและสามารถหาเป็นทศนิยมได้หลายตำแหน่งและสะดวกกว่าการเปิดตาราง คือ การใช้เครื่องคำนวณหรือเครื่องคิดเลข
การหารากที่สองโดยใช้เครื่องคำนวณหรือเครื่องคิดเลข เป็นวิธีที่สะดวกและรวดเร็วมาก แต่เครื่องคำนวณที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบันมีหลากหลายชนิด และแต่ละชนิดก็อาจมีวิธีใช้แตกต่างกัน การจะใช้เครื่องคำนวณชนิดใดจึงต้องศึกษาคู่มือการใช้งานของเครื่องนั้น ๆ
รากที่สาม
นักเรียนได้ทราบมาแล้วว่า การหารากที่สองของศูนย์และจำนวนจริงบวกใด ๆ คือการหาจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนจริงนั้น ในทำนองเดียวกัน การหารากที่สามของจำนวนจริงใดๆ ก็คือการหาจำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้จำนวนจริงนั้น เช่น การหารากที่สามของ 8 ทำได้โดยการหาจำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้ 8 ซึ่งจำนวนนั้นคือ 2 จึงได้ว่า 2 เป็นรากที่สามของ 8
บทนิยาม
ให้ a แทนจำนวนจริงใดๆ รากที่สามของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∛a
สัญลักษณ์ ∛a อ่านว่ารากที่สามของ a
จากบทนิยามจะได้ (∛a)3 = a
การหารากที่สาม
การหารากที่สามของจำนวนจริงใดๆ ทำได้หลายวิธีเช่นเดียวกับการหารากที่สอง อาจใช้การแยกตัวประกอบ การประมาณ การเปิดตาราง และการใช้เครื่องคำนวณ แต่เนื่องจากการประมาณเป็นวิธีที่ยุ่งยาก ในที่นี้จึงจะกล่าวเฉพาะการหารากที่สามโดยการแยกตัวประกอบ การเปิดตาราง และการใช้เครื่องคำนวณ
การหารากที่สามโดยการแยกตัวประกอบ
การหารากที่สามของจำนวนจริงใดๆ อาจทำได้โดยการแยกตัวประกอบ เพื่อเขียนให้อยู่ในรูปกำลังสาม แล้วหารากที่สาม ดังนี้
ตัวอย่าง
จงหา ∛343
เนื่องจาก ∛343 = ∛(7 × 7 × 7) = ∛(73) = 7
ดังนั้น ∛343 = 7
การหารากที่สามโดยการเปิดตารางและการใช้เครื่องคำนวณ
วิธีหนึ่งในการหารากที่สามของจำนวนเต็มที่สะดวกและรวดเร็วคือการเปิดตาราง ตัวอย่างตารางแสดงรากที่สามของจำนวนเต็มบวกมีดังนี้
การหารากที่สามโดยการเปิดตารางและการใช้เครื่องคำนวณ
ตามตาราง เมื่อ ∛n ไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าที่แสดงไว้ในช่อง ∛n จะเป็นค่าประมาณของจำนวนอตรรกยะ
