คำนวณและเทคนิคคิดลัด คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.4

ประกอบด้วยบทสรุปเนื้อหาแบบอ่านเข้าใจง่าย มีโจทย์ที่หลากหลากหลาย และอธิบายประกอบ พร้อมตัวอย่างเพื่อให้เข้าใจง่าย เทคนิคคิดลัดเพื่อช่วยในการทำข้อสอบให้ดีในเวลาอันจำกัด พร้อมแบบฝึกหัดหลากหลาย และเฉลย ช่วยให้ผู้เรียนได้ฝึกทักษะการทำโจทย์อย่างเป็นระบบ
โดยเนื้อหาภายในเล่มมีดังต่อไปนี้

1. เลขยกกำลัง
2. ฟังก์ชั่น
3. ลำดับและอนุกรม

เลขยกกำลัง

ถ้าจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำกันหลาย ๆ ตัว เราจะเขียนจำนวนเหล่านั้นออกมาในรูปของเลขยกกำลัง โดยจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำ ๆ จะเรียกว่า “ฐาน” และจำนวนตัวที่คูณ จะเรียกว่า “เลขชี้กำลัง” เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น เพื่อน ๆ ลองนึกถึงการพับกระดาษ 1 แผ่น

พับกระดาษ 1 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วน

พับกระดาษ 2 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 x 2 = 4 ส่วน

พับกระดาษ 3 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 x 2 x 2 = 8 ส่วน

พับกระดาษ 10 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1,024 ส่วน

กระดาษพับซ้อนกัน 1,024 ทบนี่หนามาก ๆ เลย และในชีวิตจริง ถ้าต้องเขียน 2 x 2 x 2 x … x 2 ให้ครบตามต้องการก็คงจะเหนื่อยและเสียเวลามาก ๆ นักคณิตศาสตร์จึงนิยมเขียนออกมาในรูปของ “เลขยกกำลัง” ซึ่งประกอบไปด้วยฐานและเลขชี้กำลัง เราสามารถเขียน 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังได้ว่า 2¹⁰ ซึ่ง 2 คือฐาน และ 10 คือเลขชี้กำลัง และจะอ่าน 2¹⁰ ว่า…

2 กำลัง 10

2 ยกกำลัง 10

หรือ กำลัง 10 ของ 2

เลขยกกำลัง ฐาน และเลขชี้กำลัง

จำนวนที่สามารถเป็นฐานได้มีหลายรูปแบบ เช่น จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ เศษส่วน ทศนิยม ยกตัวอย่างเช่น 2⁴ (-2)⁴()²0.4⁵

ข้อสังเกต: อ่านไม่เหมือนกัน ผลลัพธ์ไม่เท่ากัน

ลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่

(-2)⁴ = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16

ลบสองยกกำลังสี่

-2⁴ = – (2 x 2 x 2 x 2) = -16

จะเห็นว่า (-2)⁴ มีค่าไม่เท่ากับ -2⁴ แค่ใส่วงเล็บ ผลลัพธ์ก็ต่างกันแล้ว ดังนั้นเพื่อน ๆ ต้องระวังการใส่วงเล็บให้ดีนะ เราลองมาดูตัวอย่างอื่น ๆ เพิ่มกันดีกว่า

5⁴ = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

(5)⁴ = (5)(5)(5)(5) = 625

-5⁴ = -(5 x 5 x 5 x 5) = -(625) = -625

(-5)⁴ = (-5)(-5)(-5)(-5) = (25)(25) = 625

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน.

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า

ความสัมพันธ์ (Relation)

r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย D_r ดังนั้น D_r = {x | (x, y) ε r}
เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R _rดังนั้น R_r = {y | (x, y) ε r}

หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ r

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

สัญลักษณ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r^-1
เขียน r^-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ r^-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r^-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ชนิดของลำดับ

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต เป็นลำดับซึ่งมีผลต่างระหว่างพจน์ที่ n + 1 กับ พจที่ n มีค่าคงตัว ซึ่งค่าคงตัวนี้ เรียกว่า “ผลต่างรวม” เขียนแทนด้วย d

ให้ a₁,a₂,a₃ , . . . เป็นลำดับเลขคณิต ผลต่างระหว่างพจน์ที่ n + 1 กับพจน์ที่ n ค่า d (d =a₂ − a₁) ดังนั้น

a_n = a₁ + (n – 1)*d

ตัวอย่างการหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต

จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับ -5 , -1, 3, 7, 11,…

ลำดับอื่น ๆ

2.1 ลำดับหลายชั้น

ลำดับหลายชั้น เป็นลำดับเลขอนุกรม มีค่าความแตกต่างระหว่างตัวเลขมีลักษณะเป็นเลขอนุกรมด้วย เช่น

2.2 ลำดับเว้นระยะ

ลำดับเว้นระยะ เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งประกอบด้วยอนุกรมมากกว่า 1 ซ้อนกันอยู่ภายในโจทย์เดียวกัน เช่น

2.3 ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด

ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด เป็นลำดับอนุกรมที่เกิดจากค่าความแตกต่างที่เป็นชุด คือหลายตัวประกอบขึ้นมาและใช้ค่าแตกต่างที่เป็นชุดดังกล่าวในการพิจารณาเลขอนุกรมลำดับถัดไป เช่น

2.4 ลำดับยกกำลัง

ลำดับยกกำลัง เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งเกิดจากการยกกำลังของตัวเลขต่าง ๆ หรืออาจเกิดจากค่าความแตกต่างที่อาจเป็นเลขยกกำลัง เช่น

แบบฝึกทักษะเรื่อง ลำดับ