คำศัพท์เกี่ยวกับตรรกศาสตร์
- ประพจน์ (Proposition หรือ Statement)
ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่่านั้น - ค่าความจริง (Truth Value)
ใช้เรียกการเป็นจริงหรือเป็นเท็จของประพจน์ว่า “ค่าความจริงของประพจน์” - ตัวเชื่อม (Connective)
- นิเสธ (Negative)
นิเสธของประพจน์ p คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์ p
เขียนแทนนิเสธของ p ด้วย ~p - รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์สองประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีต่อกรณี ในทางตรรกศาสตร์สามารถนำมาแทนกันได้ - ตารางค่าความจริง
- สัจนิรันดร์ (Tautology)
รูปแบบของประพจน์ที่มีความความจริงเป็นจริงทุกกรณี - การอ้างเหตุผล
- ประโยคเปิด (Open Sentence)
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และไม่เป็นประพจน์ แต่เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้ว ข้อความนั้นจะเป็นประพจน์ - ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier)
วลีที่ใช้บอกจำนวนตัวแปรในประโยคเปิดว่ามีมากน้อยเพียงใด
มีสองตัวคือ
1. บ่งปริมาณที่บอกจำนวนทั้งหมด ใช้สัญลักษณ์… แทนข้อความ สำหรับ…ทุกตัวฅ
สำหรับแต่ละค่าของ… เช่น ถ้า P(x) แทนประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร
สัญลักษณ์ “…x[P(x)] แทนข้อความสำหรับ x ทุกตัวซึ่งP(x)
2. ตัวบ่งปริมาณบอกจำนวนบางส่วน ใช้สัญลักษณ์ … แทนข้อความ สำหรับ…บางตัว, สำหรับบางค่าของ…, มี…บางตัว/ค่า เช่นถ้า P(x) แทนประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร
สัญลักษณ์…x[P(x)] แทนข้อความสำหรับ x บางตัวซึ่งP(x)
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
ประพจน์ (Propositions หรือ Statements)
ประพจน์ (Proposition ,Statement) หมายถึง ประโยชน์หรือข้อความ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง หรือเป็นเท็จเพียงค่าใดค่าหนึ่งเท่านั้น ซึ่งอาจอยู่ในประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์
ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ (จริง)
จังหวัดเชียงใหม่ไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย (จริง)
9 ≠ 3 (จริง)
17 + 8 ≠ 25 (เท็จ)
π เป็นจำนวนตรรกยะ (เท็จ)
เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต (เท็จ)
ในตรรกศาสตร์การเป็น จริง หรือ เท็จ ของแต่ละพจน์เรียกว่า ค่าความจริง (truth – value) ของประพจน์ เช่น 3 = 1+2 เป็นประพจน์ที่เป็นจริง
ค่าความจริง (Truth Value)
ตารางเรียงลำดับคุมความของลักษณ์จากมากไปหาน้อย
| สัญลักษณ์ | ความหมาย | ขยายความหมาย |
| ↔ | ก็ต่อเมื่อ | มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อประพจน์ที่เชื่อมกันมีค่าความจริงเหมือนกัน |
| → | ถ้า…แล้ว | มีค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อประพจน์หน้าเป็นจริงและหลังเป็นเท็จ |
| ^ | และ | มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทุกประพจน์เป็นจริงทั้งหมด |
| v | หรือ | มีค่าความเป็นจริง เมื่อมีประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง |
| ~ | ไม่ | มีค่าความตรงข้าว เช่นเปลี่ยนจากเป็นเท็จ หรือเปลี่ยนจากเท็จเป็นจริง |
จากตารางเรียงลำดับคลุมความจากมากไปน้อย โดยสัญลักษณ์ที่คลุมความน้อยกว่าต้องเริ่มจัดการทำก่อนสัญลักษณ์ที่คลุมความมากกว่า ส่วนกรณี^และvเป็นสัญลักษณ์ที่คลุมความเท่ากัน ดังนั้นจึงต้องใช้วงเล็บกำกับ เพื่อชี้ให้เห็นว่าจะต้องเริ่มทำที่ตัวเชื่อมใดก็ได้
| p | q | ~q | pvq | p^~q | pvq→p^~q |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | T |
ตัวเชื่อม (connective)
1. ตัวเชื่อม “และ” เป็นตัวเชื่อมระหว่างประพจน์สองประพจน์ ซึ่งใช้สัญลักษณ์ (อ่านว่า และ) แทนคำว่า “และ” ดังนั้นเมื่อเชื่อมประพจน์ p , q ด้วยตัวเชื่อม “และ” จะได้ประพจน์ ” p และ q ”
เขียนแทนด้วย p q (อ่านว่า พีและคิว)
2. ตัวเชื่อม “หรือ” เป็นตัวเชื่อมระหว่างประพจน์สองประพจน์ ซึ่งใช้สัญลักษณ์ (อ่านว่า หรือ) แทนคำว่า “หรือ” ดังนั้นเมื่อเชื่อมประพจน์ p , q ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” จะได้ประพจน์ ” p หรือ q ”
เขียนแทนด้วย p q (อ่านว่า พีหรือคิว)
3. ตัวเชื่อม “ถ้า….แล้ว” เป็นตัวเชื่อมระหว่างประพจน์สองประพจน์ โดยที่ประพจน์หนึ่งอยู่หลังคำว่า “ถ้า” ส่วนอีกประพจน์หนึ่งอยู่หลังคำว่า “แล้ว” ตัวเชื่อม “ถ้ว…แล้ว” เป็นตัวเชื่อมที่สำคัญมากในทางคณิตศาสตร์ เพราะเป็นตัวเชื่อมที่แสดงความเป็น “เหตุ” เป็น “ผล” ซึ่งใช้สัญลักษณ์ (อ่านว่า ถ้า…แล้ว) แทนคำว่า “ถ้า…แล้ว” ดังนั้นเมื่อเชื่อมประพจน์ p , q ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว” จะได้ประพจน์ ” ถ้า p แล้ว q ”
เขียนแทนด้วย p q (อ่านว่า ถ้า…พี…แล้ว…คิว)
4. ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” เป็นตัวเชื่อมระหว่างประพจน์สองประพจน์ ที่ใช้สัญลักษณ์ หรือ (อ่านว่า ก็ต่อเมื่อ) แทนคำว่า “ก็ต่อเมื่อ” ดังนั้นเมื่อ เชื่อมประพจน์ p , q ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” จะได้ประพจน์ ” p ก็ต่อเมื่อq ”
เขียนแทนด้วย p q (อ่านว่า พี ก็ต่อเมื่อ คิว)
ประพจน์ p q มีความหมายในเชิง “ถ้า…แล้ว…” ดังนี้
( p q ) ( q p )
ซึ่งหมายความว่า ถ้า p เป็นเหตุแล้วจะได้ผล q และในทางกลับกัน ถ้า q เป็นเหตุแล้วจะได้ผล p
นิเสธ (Negation)
ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ P ด้วย ~P ถ้า P เป็นประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับ P
ตารางแสดงค่าความจริงดั้งนี้
| P |
~P
|
|
T
F
|
F
T
|
ตัวอย่าง ถ้า p แทนประโยคว่า “วันนี้เป็นวัน เสาร์” นิเสธของ p หรือ ~p คือ ประโยคที่ว่า “วันนี้ไม่เป็นวันเสาร์”
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
1.) p∧p≡ p
2.) p∨p≡p
3.) (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r) (เปลี่ยนกลุ่ม)
4.) (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r) (เปลี่ยนกลุ่ม)
5.) p∨q ≡ q∨p (สลับที่)
6.) p∧q ≡ p∧q (สลับที่)
7.) p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) (แจกแจง)
8.) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) (แจกแจง)
9.) ∼(p∨q) ≡ ∼p∧∼q
10.) ∼(p∧q) ≡ ∼p∨∼q
11.) ∼p→q ≡ p∨∼q **
12.) p→q ≡ ∼p∨q **
13.) p→q ≡ ∼q→∼p
14.) p↔q ≡ (p→q)∧(p→q) ≡ (∼p∨q)∧(∼p∨q)
สัจนิรันดร์
สัจนิรันดร์ (Tautology)หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี (ไม่มีกรณีที่เป็นเท็จแม้แต่กรณีเดียว)
ซึ่งเรามีวิธีการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ด้วยวิธีการต่างๆ 4 วิธี ได้แก่
1. การตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริง
2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง
3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล
4. การตราจสอบโดยใช้หลักของความสมมูล
1. การตรวจสอบโดยใข้ตารางค่าความจริง
ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ เริ่มด้วยการสร้างตารางค่าความจริง
|
p |
q |
~q |
p -> q |
~{( p -> q ) ^ p} |
~q -> ~{( p -> q ) ^ p} |
|
T |
T |
F |
T |
F |
T |
|
T |
F |
T |
F |
T |
T |
|
F |
T |
F |
T |
T |
T |
|
F |
F |
T |
T |
T |
T |
เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง เราจึงสรุปได้ว่า
~q -> ~{( p -> q ) ^ p} มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์
ชอบคุณข้อมูล https://coolaun.com/
