คุณสมบัติของจำนวนจริง(Properties of Real Numbers)

เนื่องจากว่า สมบัติของจำนวนจริงมีเยอะมาก ในที่นี้จะนำเสนอเฉพาะที่คิดว่าสำคัญแล้วกันนะครับ

ถ้าให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว จะได้ว่าจำนวนจริงจะมีสมบัติดังต่อไปนี้

1. สมบัติปิดการบวก: a+ b จะต้องเป็นจำนวนจริงเสมอ

2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c

3. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยที่เราเรียก 0 ว่าเอกลักษณ์ของการบวก

4. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก: a + (-a) = 0 = (-a) + a โดยที่ (-a) เป็นอินเวอร์สการบวกของ a

5. สมบัติปิดของการคูณ: a คูณ b หรือ ab จะต้องมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงเสมอ

6. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ: a(bc) = (ab) c

7. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ: a x 1 = a = 1 x a โดยที่เราเรียก 1 ว่าเอกลักษณ์ของการคูณ

8. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ: a a-1 = 0 = a-1 a โดยที่ a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณของ a

9. สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: a(b + c) = ab + ac

จำนวนจริง

      เซตของจำนวนจริง

เซตของจำนวนจริง  คือเซตที่เกิดจากการยูเนียนกันของเซตของ

จำนวนตรรกยะกับเซตของจำนวนอตรรกยะ

ข้อควรสนใจ

  1.  มีจำนวนอีกประเภทหนึ่งที่ไม่ใช่จำนวนจริง  จำนวนเหล่านั้นได้แก่ …เป็นต้น  ( รากที่สองของจำนวนลบ )

                              จำนวนเหล่านี้เราเรียกว่าจำนวนจินตภาพ  ซึ่งเป็นจำนวนที่เราไม่

                              สามารถเปรียบเทียบความมากน้อยได้

2. ในเซตของจำนวนจริง  เราจะไม่มีการเขียนเศษส่วนที่ตัวส่วนเป็น

     ศูนย์โดยเด็ดขาด  เพราะลักษณะดังกล่าวไม่มีความหมาย  หรือ

2. การเท่ากันของจำนวนจริง

หลักการเท่ากันของจำนวนจริง  เป็นการแสดงให้เห็นว่าลักษณะของ

จำนวนจริงที่จะเท่ากันได้นั้น  มีลักษณะอย่างไร  และเราเรียกลักษณะต่าง ๆ เหล่านั้นว่า  คุณสมบัติ  และคุณสมบัติเหล่านี้เป็นจริงเสมอ  และนอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้อ้างอิงในการพิสูจน์เกี่ยวกับการเท่ากันของจำนวนอื่น ๆ ได้อีก

1. คุณสมบัติสะท้อน  ( Reflexive  Property )

ถ้า  a  เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว  a = a

                              คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  จำนวนจริงใดก็ตาม  ต้องมีค่าเท่ากับจำนวนจริงนั้นเสมอ

2.   คุณสมบัติการสมมาตร  ( Symmetric  Property )

                             ให้  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                             ถ้า  a = b  แล้ว  b = a

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้ามีจำนวนจริง  2  จำนวนเท่ากัน  จจะเขียนจำนวนใดไว้ทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับ  หรือเขียนไว้ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับก็ได้  ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ตัวอย่างที่ 3    1.  X + 2 = 5 จะมีความหมายเหมือนกับ  5 = X + 2

2. X = 36  จะมีความหมายเหมือนกับ  X = 36
3.   คุณสมบัติการถ่ายทอด  ( Transitive  Property )

                             ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  และ  b = c  แล้ว  a = c

                              คุณสมบัติข้อนี้  แสดงให้เห็นถึงการเชื่อมโยง  หรือความต่อเนื่องจากการเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 4    ถ้าเรามี  a = 2

                          และรู้ว่า  2 = b

                          จากคุณสมบัติการถ่ายทอด  เราสามารถสรุปได้ว่า  a = b

4.   คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน

                              ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  แล้ว  a + c = b + c

                              คุณสมบัติข้อนี้แสดงให้เห็นว่า  ถ้ามีจำนวนจริงใด ๆ สองจำนวนเท่ากันเราเพิ่มเข้าไปอีกจำนวนละเท่า ๆ กัน  ผลที่ได้ยังคงเท่ากันเสมอ

ตัวอย่างที่ 5     ให้  x = 7  และ  b, c  เป็นจำนวนจริง

                          จะได้  x + b = 7 + b

                                     x + c = 7 + c

5.   คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน 

                              ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                              ถ้า  a = b  แล้ว ac = bc

                        คุณสมบัติข้อนี้ก็เช่นเดียวกับคุณสมบัติข้อ 4  แต่เปลี่ยนจากการบวกเป็นการคูณ  นั่นคือ  ถ้ามีจำนวนจริงใด ๆ สองจำนวนเท่ากันเราคูณเข้าไปด้วยจำนวนที่เท่ากันผลที่ได้ยังคงเท่ากันเสมอ

3. คุณสมบัติของจำนวนจริงข้อ 1 – 11

                        ในระบบจำนวนจริง  จะมีคุณสมบัติสำคัญอยู่ 15 ข้อ  ซึ่งเราจะต้องทำความเข้าใจและศึกษาเป็นอย่างดี  คุณสมบัติเหล่านี้จะเป็นจริงเสมอ  ไม่ว่าจำนวนจริงนั้นจะมีลักษณะใดก็ตาม  สำหรับในหัวข้อนี้จะกล่าถึงคุณสมบัติของจำนวนจริง  11  ข้อแรกเสียก่อน

                        ให้  R  เป็นเซตของจำนวนจริง  โดยที่มี  a, b  และ  c  เป็นสมาชิกในเซตนี้  ( แสดงว่า  a, b  และ c  เป็นจำนวนจริง )  คุณสมบัติเหล่านี้จะเป็นจริงสำหรับระบบจำนวนจริงเสมอ

1. คุณสมบัติปิดของการบวก

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  a + b e R

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเรานำสมาชิกที่อยู่ใน  R  มาบวกกันแล้วผลที่ได้จะยังคงเป็นสมาชิกที่อยู่ใน  R  เสมอ  ( จำนวนจริงคูณกับจำนวนจริง  ผลที่ได้ยังคงเป็นจำนวนจริงเสมอ )

2. คุณสมบัติปิดของการคูณ

ถ้า  a e R และ  b e R  แล้ว  ab e R

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเรานำสมาชิกที่อยู่ใน  R  มาคูณกันแล้ว

ผลที่ได้จะยังคงเป็นสมาชิกที่อยู่ใน  R  เสมอ  ( จำนวนจริงคูณกับจำนวนจริง  ผลที่ไดัยังคงเป็นจำนวนจริงเสมอ )

3. คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  a + b = b + a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในการนำสมาชิก  R  มาบวกกันนั้น  เราจะ

นำสมาชิกตัวใดเป็นตัวตั้ง  หรือเป็นตัวบวกก็ได้  ผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

4. คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ

ถ้า  a e R  และ  b e R  แล้ว  ab = ba

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในการนำสมาชิกใน  R  มาคูณกันนั้น  เรา

นำสมาชิกตัวใดเป็นตัวตั้งหรือเป็นตัวคูณก็ได้  ผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

5. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก

ถ้า  a, b  และ  c  ต่างเป็นสมาชิกใน  R  แล้ว

                              ( a + b ) + c = a ( b + c )

                             คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  การที่มีจำนวนจริงหลาย ๆ จำนวนมาบวกกันนั้นเราจะนำจำนวนจริงข้อใดบวกกันก่อนก็ได้  แล้วจึงไปบวกกับจำนวนที่เหลือทีหลัง

ซึ่งผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

6. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

ถ้า  a, b  และ  c  ต่างเป็นสมาชิกใน  R  แล้ว  (ab)c = a(bc)

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  การที่มีจำนวนจริงหลาย ๆ จำนวนคูณกัน

นั้นเราจะนำจำนวนจริงคู่ใดคูณกันก่อนก็ได้  แล้วจึงนำไปคูณกับจำนวนที่เหลือทีหลัง  ซึ่งผลที่ได้ย่อมเท่ากันเสมอ

7. คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

ในเซตจำนวนจริง  R  จะมี  0  e  R  ซึ่ง

0 + a = a + 0 = a  สำหรับทุก ๆ ค่าของ  a  ใน  R  เราเรียก  0 ว่า

เอกลักษณ์การบวก

      คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในเซตของจำนวนจริงนี้จะมีจำนวนจริง

พิเศษอยู่ตัวหนึ่ง  คือ  0  ซึ่ง  0  นั้นเมื่อนำไปบวกกับจำนวนจริงใด  ผลที่ได้จะเป็นจำนวนจริงนั้นเสมอ  และต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ด้วย  เราจึงตั้งชื่อ  0  ว่าเอกลักษณ์การบวก

8. คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

ในเซตของจำนวนจริง  R  จะมี  1 e R ซึ่ง

1 x a= a x 1 = a  สำหรับทุก ๆ ค่าของ a  ใน  R  เราเรียก  1  ว่า

เอกลักษณ์การคูณ

      คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ในเซตของจำนวนจริงนั้น  จะมีจำนวน

จริงพิเศษอยู่ตัวหนึ่ง  คือ  1  ซึ่ง  1  นั้นเมื่อนำไปคูณกับจำนวนจริงใด  ผลที่ได้จะเป็นจำนวนจริงตัวนั้นเสมอ  และต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ด้วย  เราจึงตั้งชื่อ  1  ว่า  เอกลักษณ์การคูณ

9. คุณสมบัติการมีอินเวอร์สการบวก

ถ้า  a e R จะมี  -a e R  ซึ่ง

a + (-a) = (-a) + a = 0

เรียก  -a  ว่า  อินเวอร์สการบวกของ  a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเราหยิบสมาชิกใน  R  ขึ้นมา  1  ตัว

จะเป็นตัวใดก็ได้สมมติให้เป็น  a  ก็จะมี  -a  ใน  R  เหมือนกัน  และสมาชิกทั้งสองจำนวนนี้  เมื่อนำมาบวกกัน  ผลที่ได้จะเป็นเอกลักษณ์การบวก  ( คือ 0 )  และการบวกกันนั้นต้องสลับที่ได้ด้วย

10.  คุณสมบัติการมีอินเวอร์สการคูณ

ถ้า  a e R  และ  a ¹ 0  จะมี  a^-1 e R  ซึ่ง

aa^-1  =  a^-1a  =  1

เรียก  a^-1   ว่าอินเวอร์สการคูณของ  a

คุณสมบัติข้อนี้กล่าวว่า  ถ้าเราหยิบสมาชิกใน  R  ขึ้นมา  1  ตัว

ซึ่งไม่ใช่  0  ก็จะมีสมาชิกใน  R  อยู่  1  ตัวซึ่งเมื่อนำมาคูณกับสมาชิกใน  R  ที่หยิบขึ้นมา  ผลที่ได้จะเป็นเอกลักษณ์การคูณ  คือ  1  และการคูณกันนั้นสามารถสลับที่ได้ด้วย

11.   คุณสมบัติการแจกแจง

ถ้า  a, b  และ  c  เป็นสมาชิกใน  R  แล้ว

a ( b + c ) = ab + ac

คุณสมบัติข้อนี้  เป็นการแสดงให้เห็นว่าในการนำจำนวนสองจำนวน

สองจำนวนคือ  a  และ  b + c  มาคูณกันนั้น  เราสามารถแยกให้อยู่ในรูปผลบวกของผลคูณ  ab  กับ  ac  ก็ได้

4. ทฤษฎีบทสำคัญในระบบจำนวนจริง

                        “ ทฤษฎีบท “  หมายถึง  ข้อความที่เป็นจริง  และสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติต่าง ๆ มาอ้างอิง ดังนั้นทฤษฎีที่จะกล่าวต่อไปนี้เป็นจริงเสมอในระบบจำนวนจริง

ทฤษฎีบทที่  1  ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริง

ถ้า  a + c = b + c  แล้ว  a = b

ทฤษฎีบทที่  2  ให้  a, b  และ  c  เป็นจำนวนจริง  ซึ่ง  c ¹ 0

ถ้า  ac = bc  แล้ว  a = b

ทฤษฎีบทที่  3  ถ้า  a  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

a x 0 = 0 x a = 0

ทฤษฎีบทที่  4  ให้  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

ถ้า  ab = 0  แล้ว  a = 0  หรือ  b = 0

ทฤษฎีบทที่  5  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริง  โดยที่  b ¹ 0, d ¹ 0

 จะได้ว่า  ก็ต่อเมื่อ  ad = bc

ทฤษฎีบทที่  6  ให้  a ¹ 0, b ¹ 0 เป็นจำนวนจริง

 ถ้า  ab = 1  แล้ว  a = b^-1 หรือ  b = a^-1

ทฤษฎีบทที่  7  ให้  a, b  เป็นจำนวนจริงโดยที่  a ¹ 0, b ¹ 0

                         จะได้ว่า

ทฤษฎีบทที่  8  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริงที่  c ¹ 0, d ¹ 0

                         จะได้ว่า

ทฤษฎีบทที่  9  ให้  a, b, c  และ  d  เป็นจำนวนจริงที่  c ¹ 0, d ¹ 0

                        จะได้