สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือ สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R
S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า “ขอบเขตบนของ S”
a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
1. a เป็นขอบเขตบนของ S
2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ตัวอย่างที่ 1 ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 8 ]
จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 8
ตัวอย่างที่ 2 ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 5)
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {1, 0, 3, 15, 4}
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 15 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 15
ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-3, ∞]
จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
ตัวอย่างที่ 5 ให้ S ≠ Ø
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
