จำนวนจริง (Real number) ม.2

จำนวนจริง ( Real  Numbers ) ประกอบด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

                      1) จำนวนตรรกยะ (Rational  Numbers) คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้เมื่อเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มและ    “ส่วนมีค่าไม่เท่ากับ 0 ” 

            ได้แก่ จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมซ้ำ

                1.1) จำนวนเต็ม  (Integer Numbers) คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วน และทศนิยมรวมอยู่ในจำนวนนั้น ประกอบด้วย

                      1.1.1) จำนวนเต็มบวก ( I⁺ )หรือจำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้ว่าจำนวนนับตัว             สุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่ 1 , 2 , 3, … ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้

                      1.1.2) จำนวนเต็มศูนย์  สมาชิกมีเพียงจำนวนเดียวคือ 0 ศูนย์เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับจาก

            หลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ์ “0″ ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ “0″ แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการ

            กล่าวถึงแต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่าง เช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียน                เป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น

1.1.3) จำนวนเต็มลบ ( I^–) คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่ง อยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน 

            และจะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ –1

                      สรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้

1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวนก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์

2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ –1

3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้น จำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลงกล่าวคือ …-5 < -4 < -3 < -2 < -1

1.2) เศษส่วน หมายถึง ส่วนหนึ่งๆ ของจำนวนทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน เช่น     เป็นต้น

1.3) ทศนิยมซำ้ คือ การหารเศษส่วนที่ไม่ลงตัวจะซ้ำกันไปเรื่อย ๆอาจจะซ้ำตำแหน่งเดียว สองตำแหน่งหรือสามตำแหน่ง 

                ซึ่งเราเรียก ทศนิยมนี้ว่า  ทศนิยมซ้ำ

เช่น  กรณีซ้ำ 1 หลัก   

              

                                    กรณีซ้ำ 2 หลัก    

                                    กรณีซ้ำ 3 หลัก    

           2) จำนวนอตรรกยะ (Irrational  number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ หรือเศษส่วน เมื่อ  a , b เป็นจำนวนเต็ม  b0  

    และสามารถกำหนดค่าประมาณได้  เช่น              มีค่าประมาณ 1.414

     มีค่าประมาณ 1.732

π = 3.14159265…       มีค่าประมาณ 3.142

                 มีค่าประมาณ 0.707

    ทศนิยมที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำ เช่น 0.1010010001…,6.808808880…,1.2345678910111213…, เป็นต้น

     ข้อควรรู้ 

1. ถ้าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ แล้วจำนวนตรงข้ามกับจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนอตรรกยะด้วย เช่น เป็น                                  จำนวนอตรรกยะ จะได้ว่าจำนวนตรงข้ามของ คือ –  เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยเช่นกัน ,π เป็นจำนวนอตรรกยะ จะได้ว่า

               จำนวนตรงข้ามของ π  คือ –π  เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยเช่นกัน

2. จำนวนอตรรกยะ มีสมบัติปิดสำหรับการบวก นั่นคือถ้านำจำนวนอตรรกยะมาบวกกัน ค่าทีได้จากการบวกจะเป็น                               จำนวนอตรรกยะเหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น   π+π = 2π ซึ่ง 2π  เป็นจำนวนอตรรกยะ