ระบบจำนวนจริง (Real number)
ระบบจำนวนจริง (Real Number) คณิตศาสตร์ ม.ปลาย
จำนวนจริง (Real Number)
ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ
1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)
สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้
จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
1. จำนวนเต็ม (Integer)
2. เศษส่วน (Fraction) >>> จำนวนที่เขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น 1/2, 2/3, 1/3, 50/49, 1, -1, 0
3. ทศนิยม (Repeating decimal) >>> เช่น 3.33333… เท่ากับ 10/3 หรือ 0.142857142857142857142857142857… เท่ากับ 1/7
จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ
1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน เช่น เป็นต้น
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ
จำนวนเต็ม จากจำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้
ตัวอย่าง
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}
ระบบจำนวนเชิงซ้อนนอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
x^2 = -1 ∴ x = √-1 = i
x^2= -2 ∴ x = √-2 = √2 i
x^2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)
สรุป
ส่วนประกอบของจำนวนจริง
จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย
- จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
- จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
จำนวนตรรกยะ ( RATIONAL NUMBER )
จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ
- จำนวนเต็ม
- ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะโดยทันที
จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม
เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้
- เศษส่วน
- ทศนิยมซ้ำ
ซึ่งในหัวข้อนี้จะไม่ได้พูดถึงเศษส่วนและทศนิยมซ้ำอย่างละเอียด ถ้าต้องการศึกษาเพิ่มเติม สามารถเข้าไปศึกษาได้
จำนวนเต็ม ( INTEGER )
จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น
- จำนวนเต็มบวก
- จำนวนเต็มลบ
- จำนวนเต็มศูนย์
ข้อควรรู้ :
- ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
- ไม่มีจำนวนเต็มลบที่่น้อยที่สุด
- 0 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มลบ
- จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด คือ 1
- จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด คือ -1
ประเภทของจำนวน
- จำนวนคู่ ( Even Number ) : คือ จำนวนที่ 2 สามารถหารได้ลงตัว
- จำนวนคี่ ( Odd Number ) : คือจำนวนที่ 2 ไม่สามารถหารได้ลงตัว
- จำนวนเฉพาะ ( Prime Number ) : คือ จำนวนนับที่มีตัวหารที่เป็นจำนวนบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และ ตัวมันเองเท่านั้น
- จำนวนประกอบ ( Composite Number ) คือ จำนวนนับที่เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป
สมบัติของจำนวนจริง
กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ
1. สมบัติการบวกในจำนวนจริง
- สมบัติปิดการบวก
ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ a + b จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง
- สมบัติการสลับที่การบวก
a + b = b + a
- สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- การมีเอกลักษณ์การบวก
0 + a = a + 0 = a
- การมีอินเวอร์สการบวก
a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0
2. สมบัติการคูณในจำนวนจริง
- สมบัติปิดการคูณ
ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว ab จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง
- สมบัติการสลับที่การคูณ
ab = ba
- สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ
a × ( bc ) = ( ab ) × c
- การมีเอกลักษณ์การคูณ
1 × a = a × 1 = a
- การมีอินเวอร์สการคูณ
a × ( 1/a ) = ( 1/a ) × a = 1
สมบัติการแจกแจง
a ( b+c ) = ab + ac
จำนวน
(number)ปริมาณที่ทำให้มีความรู้สึกว่ามากหรือน้อยจำนวนคี่
(odd number)จำนวนเต็มที่ไม่ใช้จำนวนคู่ หรือจำนวนที่อยู่ในเซต 
จำนวนคู่
(even number)จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ จำนวนที่อยู่ในเซต 
จำนวนจริง
(real number)จำนวนที่เป็นสมาชิกอยู่ในเซตที่เกิดจากยูเนียนของเซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะจำนวนจริงบวก
(positive real number)จำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์หรือจำนวนที่แทนได้ด้วยจุดที่อยู่ทางขวามือของจุดแทนศูนย์บนเส้นจำนวนจำนวนจริงลบ
(negative real number)จำนวนจริงที่น้อยกว่าศูนย์หรือจำนวนที่แทนได้ด้วยจุดที่อยู่ทางซ้ายมือของจุดแทนศูนย์บนเส้นจำนวนจำนวนจินตภาพ
(imaginary number)จำนวนเชิงซ้อน a + bi เมื่อ b # 0จำนวนจินตภาพแท้
(real imaginary number)จำนวนเชิงซ้อน a + bi เมื่อ a = 0 และ b # 0 (ดู จำนวนเชิงซ้อน ประกอบ)จำนวนเฉพาะ
(prime number)จำนวนเต็ม a ซึ่งไม่เท่ากับ 0 หรือ 
และต้องหารลงตัวด้วย และ 
เท่านั้น เช่น 
เป็นต้น (ส่วนมากมักจะกล่าวถึงจำนวนเฉพาะทีเป็นจำนวนจริงบวกเท่านั้น)จำนวนเชิงซ้อน
(complex number)จำนวนใด ๆ ที่เขียนในรูปคู่อันดับ (a, b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงและมีคุณสมบัติต่อไปนี้
1. (a, b) = (c, d) ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
3. (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
หรือ (a, b) อาจเขึยนได้ในรูป a + bi เมื่อ i2 = -1 เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) และเรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) จำนวนเชิงซ้อน (0, b) เมื่อ b # 0 เรียกว่าจำนวนจินตภาพแท้จำนวนตรรกยะ
(rational number)จำนวนที่เขียนได้ในรูป 
โดยที่ a และ b ต่างเป็นจำนวนเต็มและ b # 0 ได้แก่
1. จำนวนเต็ม 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ….
2. จำนวนที่เขียนไว้ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารไม่เป็นศูนย์ 
3. จำนวนที่เขียนไว้ในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 
จำนวนเต็ม
(integer)จำนวนที่อยู่ในเซต { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}จำนวนเต็มบวก
(positive integer, natural number, counting number)จำนวนที่อยู่ในเซต { 1, 2, 3, …}จำนวนเต็มลบ
(negative integer)จำนวนที่อยู่ในเซต { -1, -2, -3, ….}จำนวนนับ
(natural number, counting number) จำนวนเต็มบวกจำนวนเลขคณิต
(arithmetic number)จำนวนที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันได้แก่จำนวนเต็มบวก เศษส่วน ทศนิยม และจำนวนจริง (ที่เป็นบวก)จำนวนอตรรกยะ
(irrational number)จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ เช่น 
= 3.1415926535…, sin 45 ํ = 0.70710678…, tan 140 ํ = -0.8391…จีเอม
(G.M.)ดู ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจุดกำเนิด
(origin)จุดตัดของแกน X และแกน Y ในระบบแกนมุมฉาก หรือจุดแทนจำนวนศูนย์บนเส้นจำนวนจุดกึ่งกลาง
(mid point)ทางสถิติหมายถึงจุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้น หาได้จากการเฉลี่ยค่าขอบบนและขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้นจุดทศนิยม
(decimal point)จุดที่อยู่ระหว่างจำนวนเต็มหรือศูนย์กับเศษส่วนในระบบฐานสิบจุดยอด
(vertex)ดูในเรื่อง ด้านสิ้นสุด
