จำนวนจริง (real number)
ส่วนประกอบของจำนวนจริง
จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย
- จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
- จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ
- จำนวนเต็ม
- ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะโดยทันที
จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม
เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้
- เศษส่วน
- ทศนิยมซ้ำ
ซึ่งในหัวข้อนี้จะไม่ได้พูดถึงเศษส่วนและทศนิยมซ้ำอย่างละเอียด ถ้าต้องการศึกษาเพิ่มเติม สามารถเข้าไปศึกษาได้
จำนวนเต็ม ( INTEGER )
จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น
- จำนวนเต็มบวก
- จำนวนเต็มลบ
- จำนวนเต็มศูนย์
ข้อควรรู้ :
- ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
- ไม่มีจำนวนเต็มลบที่่น้อยที่สุด
- 0 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มลบ
- จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด คือ 1
- จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด คือ -1
สมบัติของระบบจ ำนวนจริงเกี่ยวกับกำรบวก
กำรเท่ำกันในระบบจ ำนวนจริง
สมบัติของกำรเท่ำกัน
1. สมบัติกำรสะท้อน a = a
2. สมบัติกำรสมมำตร ถ้ำ a = b แล้ว b = a
3. สมบัติกำรถ่ำยทอด ถ้ำ a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติกำรบวกด้วยจ ำนวนเท่ำกัน ถ้ำ a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติกำรคูณด้วยจ ำนวนเท่ำกัน ถ้ำ a = b แล้ว ac = bc
จงพิจำรณำและบอกสมบัติของจ ำนวนจริงที่แสดงว่ำ
(1) ถ้ำ a = b และ b = 7 แล้ว a = 7 สมบัติกำรถ่ำยทอด
(2) ถ้ำ x – 9 = 15 แล้ว x = 24 สมบัติกำรบวกด้วยจำนวนที่เท่ำกัน
(3) ถ้ำ x/8= 5 แล้ว x = 40 สมบัติกำรคูณด้วยจำนวนที่เท่ำกัน
สมบัติของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับกำรบวก
กำหนดให้ a , b และ c เป็นจ ำนวนจริงใด ๆ
1. สมบัติปิดของกำรบวก ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a + b เป็นจำนวนจริงด้วย
2. สมบัติกำรสลับที่ของการบวก a + b = b + a
3. สมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ของกำรบวก a + (b + c) = (a + b) + c
4. สมบัติกำรมีเอกลักษณ์ของกำรบวก
จำนวนจริงที่นำมาบวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ำกับ a เรียกจำนวนจริงที่
นำมำบวกว่ำ เอกลักษณ์การบวก ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์กำรบวกจำนวนเดียว คือ 0
จำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 0 คือ – a เรียก – a
ว่าเป็น อินเวอร์สกำรบวกของ a
ตัวอย่างจงบอกสมบัติของจำนวนจริงที่แสดงว่า
1) 6 + 5 เป็นจำนวนจริง สมบัติปิดของกำรบวก
2) 0 + 9 = 9 + 0 = 9 สมบัติกำรมีเอกลักษณ์ของกำรบวก
3) 5 + (-5) = 0 สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก
| จำนวน (number) |
ปริมาณที่ทำให้มีความรู้สึกว่ามากหรือน้อย |
| จำนวนคี่ (odd number) |
จำนวนเต็มที่ไม่ใช้จำนวนคู่ หรือจำนวนที่อยู่ในเซต I – = {…, -9, -5, -3, -1} เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ และ I = {…, +9, +5, +3, +1} เมื่อI + เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก |
| จำนวนคู่ (even number) |
จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ จำนวนที่อยู่ในเซต  |
| จำนวนจริง (real number) |
จำนวนที่เป็นสมาชิกอยู่ในเซตที่เกิดจากยูเนียนของเซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะ |
| จำนวนจริงบวก (positive real number) |
จำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์หรือจำนวนที่แทนได้ด้วยจุดที่อยู่ทางขวามือของจุดแทนศูนย์บนเส้นจำนวน |
| จำนวนจริงลบ (negative real number) |
จำนวนจริงที่น้อยกว่าศูนย์หรือจำนวนที่แทนได้ด้วยจุดที่อยู่ทางซ้ายมือของจุดแทนศูนย์บนเส้นจำนวน |
| จำนวนจินตภาพ (imaginary number) |
จำนวนเชิงซ้อน a + bi เมื่อ b # 0 |
| จำนวนจินตภาพแท้ (real imaginary number) |
จำนวนเชิงซ้อน a + bi เมื่อ a = 0 และ b # 0 (ดู จำนวนเชิงซ้อน ประกอบ) |
| จำนวนเฉพาะ (prime number) |
จำนวนเต็ม a ซึ่งไม่เท่ากับ 0 หรือ  และต้องหารลงตัวด้วย และ  เท่านั้น เช่น  เป็นต้น (ส่วนมากมักจะกล่าวถึงจำนวนเฉพาะทีเป็นจำนวนจริงบวกเท่านั้น) |
| จำนวนเชิงซ้อน (complex number) |
จำนวนใด ๆ ที่เขียนในรูปคู่อันดับ (a, b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงและมีคุณสมบัติต่อไปนี้ 1. (a, b) = (c, d) ต่อเมื่อ a = c และ b = d 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc) หรือ (a, b) อาจเขึยนได้ในรูป a + bi เมื่อ i2 = -1 เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) และเรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) จำนวนเชิงซ้อน (0, b) เมื่อ b # 0 เรียกว่าจำนวนจินตภาพแท้ |
| จำนวนตรรกยะ (rational number) |
จำนวนที่เขียนได้ในรูป a/b โดยที่ a และ b ต่างเป็นจำนวนเต็มและ b # 0 ได้แก่ 1. จำนวนเต็ม 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …. 2. จำนวนที่เขียนไว้ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารไม่เป็นศูนย์ 3/4 , -22/7 3. จำนวนที่เขียนไว้ในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น  |
| จำนวนเต็ม (integer) |
จำนวนที่อยู่ในเซต { …, -2, -1, 0, 1, 2, …} |
| จำนวนเต็มบวก (positive integer, natural number, counting number) |
จำนวนที่อยู่ในเซต { 1, 2, 3, …} |
| จำนวนเต็มลบ (negative integer) |
จำนวนที่อยู่ในเซต { -1, -2, -3, ….} |
| จำนวนนับ (natural number, counting number) |
ดู จำนวนเต็มบวก |
| จำนวนเลขคณิต (arithmetic number) |
จำนวนที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันได้แก่จำนวนเต็มบวก เศษส่วน ทศนิยม และจำนวนจริง (ที่เป็นบวก) |
| จำนวนอตรรกยะ (irrational number) |
จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ เช่น π= 3.1415926535…, sin 45 ํ = 0.70710678…, tan 140 ํ = -0.8391… |
| จีเอม (G.M.) |
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต |
| จุดกำเนิด (origin) |
จุดตัดของแกน X และแกน Y ในระบบแกนมุมฉาก หรือจุดแทนจำนวนศูนย์บนเส้นจำนวน |
| จุดกึ่งกลาง (mid point) |
ทางสถิติหมายถึงจุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้น หาได้จากการเฉลี่ยค่าขอบบนและขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้น |
| จุดทศนิยม (decimal point) |
จุดที่อยู่ระหว่างจำนวนเต็มหรือศูนย์กับเศษส่วนในระบบฐานสิบ |
