1 ประวัติการนับ

ประวัติของตัวเลขเริ่มต้นตั้งแต่ตอนที่มนุษย์รู้จัก  “การเทียบสิ่งของด้วยวิธีหนึ่งต่อหนึ่ง” เช่น เทียบสัตว์ 1 ตัว กับ นิ้วมือ 1 นิ้ว

บรรพบุรุษของเราไม่มีตัวเลขแต่ก็รู้จักการนับ สิ่งแวดล้อมต่างๆ ที่คุ้นเคยมักจะถูกนำมาเอามาใช้แทนจำนวนตัวเลข  ที่นิยมมากที่สุด  คือ  นิ้วมือ  เช่น  นิ้วก้อยแทนหนึ่ง นิ้วนางแทนสอง   นิ้วกลางแทนสาม  ศอกแทนแปด  ไหล่แทนเก้า  ไหปลาร้าแทนสิบ

        นอกจากนี้ยังมีการวาดรูปสัตว์ต่างๆ แทนจำนวนตัวเลขอีกด้วย แต่เมื่อความต้องการที่จะแลกเปลี่ยนสินค้าเพิ่มขึ้น ความต้องการเกี่ยวกับตัวเลขก็มากขึ้นตามไปด้วย การนับโดยใช้นิ้วหรือสิ่งของมาแทนก็ไม่เพียงพอ  วิธีการแก้ปัญหาในครั้งแรก คือ การใช้ปมเชือก ซึ่งอาจเรียกระบบปมเชือกนี้ว่าเป็นตัวเลขชุดแรกของมนุษย์ก็ได้

คนโบราณบางแห่งใช้ปมเชือกบันทึกจำนวน  เช่น พวกอินคาในอเมริกาใต้ เขาใช้ปมชนิดหนึ่งแทนจำนวนหนึ่ง และให้ทุกคนท่องจำปมต่างๆ ให้เข้าใจตรงกันว่าเป็นจำนวนอะไร  วิธีนี้มีชื่อว่า “กีปู” บางทีเขาใช้กีปูในการบันทึกเหตุการณ์บางอย่างด้วยเช่นกัน

ส่วนเลขศูนย์นั้น  กล่าวกันว่า  เกิดขึ้นในอินเดีย แต่ยังมีความคิดเห็นที่ยังไม่ตรงกันเกี่ยวกับเรื่องเลขศูนย์นี้ว่าต้นกำเนิดเป็นสัญลักษณ์แทนอะไร บางคนว่าเป็นสัญลักษณ์แทนดวงอาทิตย์ บางคนว่าเป็นสัญลักษณ์แทนภูตผีปีศาจ ข้อเท็จจริงเป็นอย่างไรก็ตาม การมีศูนย์นี้สำคัญมากสำหรับการพัฒนาตัวเลขที่เกิดขึ้นมาภายหลัง

ปัจจุบันตัวเลข 1, 2, 3, …  มีต้นกำเนิดในอินเดีย และมาแพร่หลายในยุโรปโดยผ่านชาวอาหรับ จึงมีชื่อเรียกว่า  “ตัวเลขฮินดูอารบิก”

2  การใช้ฐานต่างๆ ในการนับ

ในการนับนอกจากจะใช้ฐานสิบในการนับแล้ว ยังมีการใช้ฐานอื่นๆ อีกมากเช่น การนับในฐานสอง การนับในฐานเจ็ด เช่น การนับวันใน 1 สัปดาห์ การนับในฐานสิบสิง เช่น จำนวนนิ้วในหนึ่งฟุต จำนวนเดือนในหนึ่งปี จำนวนที่เป็นโหล หรือกุรุส จำนวนชั่วโมงในหน้าปัดนาฬิกา เป็นต้น

นอกจากนี้ยังมีการนับในฐานยี่สิบซึ่งสันนิษฐานว่าเกิดจากการนำจำนวนนิ้วมือและนิ้วเท้ามารวมกัน โดยในภาษาฝรั่งเศสมีการใช้คำว่า สี่ – ยี่สิบ  แทนคำว่า แปดสิบ และการนับฐานหกสิบ ซึ่งยังมีอยู่ในปัจจุบัน คือ 60 วินาที เป็น 1 นาที    60 นาที เป็น 1 ชั่วโมง  หรือ 60 ฟิลิปดา เป็น 1 ลิปดา และ 60 ลิปดา เป็น 1 องศา

3  ความแตกต่างระหว่างจำนวนและตัวเลข

จำนวน (Number)  หมายถึง ปริมาณที่ทำให้เรามีความรู้สึกว่ามากหรือน้อย คนกลุ่มหนึ่งกับไม้กองหนึ่ง ถ้าเราสามารถจับคู่ระหว่างคนหนึ่งคนกับไม้หนึ่งแท่งได้พอดี  จะถือว่าคนกลุ่มนั้นกับไม้กองนั้นมีจำนวนเท่ากัน   ถ้าการจับคู่ระหว่างคนกับไม้แล้วปรากฏว่าคนเหลืออยู่ แสดงว่าคนกลุ่มนั้นมีจำนวนมากกว่าไม้กองนั้น

จำนวนเป็นนามธรรม  ซึ่งมนุษย์ทุกชาติทุกภาษามีความเข้าใจตรงกัน แต่ชื่อที่ใช้เรียกจำนวนย่อมแตกต่างกันไปตามภาษาของชนชาติต่างๆ

ตัวเลข  (Numeral) หมายถึง สัญลักษณ์ หรือเครื่องหมายที่ใช้แทนจำนวน  แต่ละจำนวนเขียนแทนได้ด้วยตัวเลขต่างๆ กัน เช่น จำนวน “สาม”อาจเรียกแทนได้ด้วยตัวเลข 3 , III , ๓  ก็ได้

4  ตัวเลขในสมัยโบราณ

ตัวเลขที่ใช้กันในสมัยโบราณ  ได้แก่ ตัวเลขบาบิโลน   ตัวเลขอียิปต์     ตัวเลขโรมัน

และตัวเลขฮินดู  เป็นต้น  สำหรับตัวเลขไทยนั้น  มีหลักฐานปรากฏว่าพ่อขุนรามคำแหงมหาราชได้ทรงประดิษฐ์ขึ้นพร้อมกับตัวอักษรไทย  มีบันทึกอยู่ในหลักศิลาจารึก

ระบบตัวเลขฐานต่าง ๆ

รู้หรือไม่ว่าระบบของตัวเลขนั้นมีระบบของฐานของตัวเลขอยู่ด้วย

ทุกวันนี้ตัวเลขที่เราคุ้นเคยกัน ก็จะเป็น 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 นี่คือเลขฐานที่เรานิยมใช้กันในชีวิตประจำวันซึ่งเป็นเลขฐาน 10 คอมพิวเตอร์ทำงานด้วยกระแสไฟฟ้าดังนี้จึงมีการแทนที่ด้วยกระแสไฟฟ้า 2 สภาวะ นั่นคือ สภาวะมีไฟฟ้า กับสภาวะไม่มีไฟฟ้า ดังนั้น คอมพิวเตอร์จึงใช้ระบบเลขฐาน 2 ซึ่งก็คือ 0 กับ 1 นั่นเอง

ระบบตัวเลขฐานสิบ

ระบบตัวเลขฐาน 10 เป็นระบบฐานที่เราคุ้นเคยกันที่สุดเพราะใช้ในชีวิตประจำวัน ซึ่งมีเลขโดดอยู่ 10 ตัวนั่นคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 มาเขียนแทนจำนวน ค่าประจำหลักของตัวเลขจะเริ่มจากทางขวา โดยทางขวามือสุดเรียกว่าหลักหน่วย แล้วนับตำแหน่งไปทางด้านซ้ายกำหนดหลักและค่าประจำหลักในตาราง

หลักที่	…	เจ็ด	หก	ห้า	สี่	สาม	สอง	หนึ่ง
ชื่อตำแหน่ง	…	หลักล้าน	หลักแสน	หลักหมื่น	หลักพัน	หลักร้อย	หลักสิบ	หลักหน่วย
ค่าประจำหลัก	…	106	105	104	103	102	101	100 = 1

ตัวอย่างเช่น ถ้าเขียน 2,256,037 จะพบว่า
2 อยู่ในหลักล้าน ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 2 x 10⁶ = 2,000,000
2 อยู่ในหลักแสน ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 2 x 10⁵ = 200,000
5 อยู่ในหลักหมื่น ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 5 x 10⁴ = 50,000
6 อยู่ในหลักพัน ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 6 x 10³ = 6,000
0 อยู่ในหลักร้อย ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 0 x 10² = 0
3 อยู่ในหลักสิบ ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 3 x 10¹ = 30
7 อยู่ในหลักหน่วย ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 7 x 10⁰ = 7

ระบบตัวเลขฐานสอง

ระบบตัวเลขฐาน 2 เป็นระบบฐาน ที่มีเลขโดดอยู่ 2 ตัวนั่นคือ 0, 1 มาเขียนแทนจำนวน ค่าประจำหลักของตัวเลขจะเริ่มจากทางขวา โดยทางขวามือสุดเรียกว่าหลักที่หนึ่ง ดังตาราง

หลักที่	…	เจ็ด	หก	ห้า	สี่	สาม	สอง	หนึ่ง
ค่าประจำหลัก	…	26	25	24	23	22	21	20 = 1

การเขียนตัวเลขในระบบฐานสองเขียนโดยใช้สัญลักษณ์พื้นฐาน และเขียนฐานสองกำกับ เช่น 1011₂ อ่านว่า หนึ่งศูนย์หนึ่งหนึ่งฐานสอง

ตัวอย่างเช่น ถ้าเขียน 101011₂ จะพบว่า
1 อยู่ในหลักที่หก ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 1 x 2⁵ = 32
0 อยู่ในหลักที่ห้า ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 0 x 2⁴ = 0
1 อยู่ในหลักที่สี่ ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 1 x 2³ = 8
0 อยู่ในหลักที่สาม ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 0 x 2² = 0
1 อยู่ในหลักที่สอง ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 1 x 2¹ = 2
1 อยู่ในหลักที่หนึ่ง ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 1 x 2⁰ = 1

ระบบตัวเลขฐานสิบสอง

ระบบตัวเลขฐาน 12 เป็นระบบฐาน ที่นำสัญลักษณ์พื้นฐาน 12 ตัวนั่นคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, และอีกสองตัว คือ 10 กับ 11 เราจะนำสัญลักษณ์ภาษาอังกฤษมาเขียนแทน โดย A แทน 10 และ B แทน 11 มาเขียนแทนจำนวน ค่าประจำหลักของตัวเลขจะเริ่มจากทางขวา โดยทางขวามือสุดเรียกว่าหลักที่หนึ่ง

ดังนั้นสัญลักษณ์พื้นฐานของระบบตัวเลขฐานสิบสองประกอบไปด้วย 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B ดังตาราง

หลักที่	…	เจ็ด	หก	ห้า	สี่	สาม	สอง	หนึ่ง
ค่าประจำหลัก	…	126	125	124	123	122	121	120 = 1

การเขียนตัวเลขในระบบฐานสิบสองเขียนโดยใช้สัญลักษณ์พื้นฐาน และเขียนฐานสองกำกับ เช่น 159A₁₂ อ่านว่า หนึ่งห้าเก้าเอฐานสิบสอง

ตัวอย่างเช่น ถ้าเขียน 1B038A₁₂ จะพบว่า
1 อยู่ในหลักที่หก ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 1 x 12⁵ = 248,832
B อยู่ในหลักที่ห้า ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 11 x 12⁴ = 228096
0 อยู่ในหลักที่สี่ ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 0 x 12³ = 0
3 อยู่ในหลักที่สาม ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 3 x 12² = 432
8 อยู่ในหลักที่สอง ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 8 x 12¹ = 96
A อยู่ในหลักที่หนึ่ง ซึ่งจะมีค่่าประจำหลัก คือ 10 x 12⁰ = 10