ช่วงและการแก้อสมการ ช่วงและการแก้อสมการ
ช่วงของจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b
ช่วง
ถ้าเราลากเส้นตรงเส้นหนึ่งแล้วเลือกจุดใดจุดหนี่งบนเส้นตรงนั้นเป็นเป็นจุดแทนจำนวนศูนย์ (0) หลังจากนั้นเลือกหน่วยความยาว แล้วระบุจุดบนเส้นตรงนี้ที่ระยะห่าง 1, 2, 3, … หน่วยทางขวามือของศูนย์เป็นจำนวน 1, 2, 3, … ตามลำดับ และในทำนองดียวกัน ระบุจุดบนเส้นตรงนี้ที่ระยะห่าง 1, 2, 3, … หน่วยทางซ้ายมือของศูนย์เป็นจำนวน -1, -2, -3, … ตามลำดับ
นักคณิตศาสตร์ ถือว่า จำนวนจริงทุกจำนวนจะสามารถเขียนแทนด้วยจุดบนเส้นจำนวนนี้ และในทางตรงกันข้าม ทุกจุดบนเส้นจำนวนนี้สามารถเขียนแทนด้วยจำนวนจริงได้ เรียกเส้นตรงแบบนี้ว่า “เส้นจำนวน”
ช่วงแต่ละช่วง หมายถึง เซตของจำนวนจริงใดๆที่เป็นสับเซตของจำนวนจริงทั้งหมด R ทุกสมาชิกในช่วงช่วงนี้จะสามารถเขียนแทนด้วยจุดบนเส้นจำนวนได้ โดยเราสามารถแบ่งช่วงออกเป็น 4 แบบดังนี้
ช่วงของจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b
1. ช่วงเปิด (a, b)
(a, b) = { x | a < x < b }
2. ช่วงปิด [a, b]
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }
3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]
(a, b] = { x | a < x ≤ b }
4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)
[a, b) = { x | a ≤ x < b }
5. ช่วง (a, ∞)
(a, ∞) = { x | x > a}
6. ช่วง [a, ∞)
[a, ∞) = { x | x ≥ a}
7. ช่วง (-∞, a)
(-∞, a) = { x | x < a}
8. ช่วง (-∞, a]
(-∞, a] = { x | x ≤ a}
การแก้อสมการ
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง
หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12
วิธีทำ x + 3 > 12
∴ x + 3 + (-3) > 12 + (-3)
x > 9
∴ เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9
วิธีทำ 2x + 1 < 9
∴ 2x + 1 + (-1) < 9 + (-1)
2x < 8
(2x) < 
(8)
x < 4
∴ เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของ 4x – 5 ≤ 2x + 5
วิธีทำ 4x – 5 ≤ 2x + 5
4x – 5 + 5 ≤ 2x + 5 + 5
4x ≤ 2x + 10
4x – 2x ≤ 2x + 10 – 2x
2x ≤ 10
(2x) ≤ (10)
x ≤ 5
∴ เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]
หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง
กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0
2. ถ้า 
= 0 แล้ว จะได้ a = 0
3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0
4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0
5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0
6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0
7. ถ้า > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0
8. ถ้า 
< 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0
9. ถ้า ≥ 0 แล้ว จะได้ > 0 หรือ 
= 0
10. ถ้า ≤ 0 แล้ว จะได้ < 0 หรือ = 0
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0
วิธีทำ ถ้า (x – 3)(x – 4) > 0 แล้วจะได้
x – 3 > 0 และ x – 4 > 0
x > 3 และ x > 4
∴ เมื่อ x – 3 > 0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4
หรือ x – 3 < 0 และ x – 4 < 0
x < 3 และ x < 4
∴ x – 3 < 0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3
นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 คือ
{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0
วิธีทำ ถ้า (x – 3)(x – 4) < 0 แล้วจะได้
x – 3 > 0 และ x – 4 < 0
x > 3 และ x < 4
∴ เมื่อ x – 3 > 0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4
หรือ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0
x < 3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
∴ ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0
นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 คือ
{ x | 3 < x < 4 } = (3, 4)
จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมการได้ดังนี้
กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว
1. ถ้า (x – a)(x – b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b
2. ถ้า (x – a)(x – b) < 0 จะได้ a < x < b
3. ถ้า (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b
4. ถ้า (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b
5. ถ้า 
> 0 จะได้ x < a หรือ x > b
6. ถ้า < 0 จะได้ a < x < b
7. ถ้า ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b
8. ถ้า ≤ 0 จะได้ a ≤ x < b
