ตรรกศาสตร์เบื้องต้นเรื่องประพจน์ และ ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
ประพจน์
วิชาคณิตศาสตร์พบว่าการใช้ถ้อยคำ ถือเป็นเรื่องสำคัญมากที่ต้องเลือกใช้ อย่าง ชัดเจนและรัดกุม ถ้าจะกำหนดคำใหม่ขึ้นมาก็จะต้องมีการบอกความหมายให้
ชัดเจนและ รัดกุมโดยเรียกว่าการนิยาม คำบางคำที่จะไม่นิยามเราเรียกว่า คำอนิยาม โดยเมื่อเราตกลงให้ คำบางคำเป็นคำอนิยามแล้วเราจะนิยามคำอื่น ๆ ได้โดยอาศัยคำอนิยาม
ซึ่งเรียกว่า บทนิยาม นอกจากนี้ ข้อความที่สมมุติหรือตกลงกันว่าเป็นจริงโดยไม่พิสูจน์ เรา
เรียกว่า สัจพจน์ จากคำอนิยาม บทนิยาม และสัจพจน์ สามารถพิสูจน์ ทฤษฎีบท โดยอาศัยตรรกศาสตร์
เรียกสิ่งซึ่งประกอบด้วย คำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทว่า โครงสร้างของ
ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่มีค่าความจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เรานิยมแทน
ประพจน์ด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก เช่น p, q, r, s
ค่าความจริงของประพจน์มี 2 แบบด้วยกัน คือ
1. ค่าความจริงของประพจน์ที่เป็น จริง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ T (True) เช่น p มีค่าความเป็นจริง
เป็นจริง เขียนแทนด้วย p ≡ T
2. ค่าความจริงของประพจน์ที่เป็น เท็จ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ F (False) เช่น p มีค่าความเป็นจริง
เป็นเท็จ เขียนแทนด้วย p ≡ F
จงพิจารณาว่าประโยคหรือข้อความต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นจงบอกค่า
ความจริงของประพจน์
1. 1 = 2 − 1
2. สมชายเป็นคนดี
3. ฝนตกหรือเปล่า
4. ช่วยด้วย
5. 4 เป็นจำนวนเฉพาะ
6. อย่ามายุ่งกับฉัน
7. ปีนี้ทำนายว่า อาหารจะอุดมสมบูรณ์
8. เดือนสิงหาคมมี 31 วัน
9. โทรได้ไม่อั้น
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์มี 4 ชนิดด้วยกัน คือ
1. ตัวเชื่อม ”และ” (and) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ” ∧” กล่าวคือ p ∧ q หมายถึง p และ q
2. ตัวเชื่อม ”หรือ” (or) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ”∨ ” กล่าวคือ p ∨ q หมายถึง p หรือ q
3. ตัวเชื่อม ”ถ้า…แล้ว” (If …then) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ”→ ” กล่าวคือ p → q หมายถึง ถ้า p
แล้ว q
4. ตัวเชื่อม ”ก็ต่อเมื่อ” (if and only if) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ”↔” กล่าวคือ p ↔ q หมายถึง p ก็
ต่อเมื่อ q
ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบทนิยามต่าง ๆ ถ้านำมาเขียนเป็นประโยคที่มีตัวเชื่อมจะมีความหมายเดียว
กับการใช้ตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ เช่น
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน หมายความว่า รูปสามเหลี่ยมใดจะเป็นรูป
สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านเท่ากันสองด้าน
นอกเหนือจากตัวเชื่อมแล้ว ยังมีนิเสธของประพจน์
นิเสธ ของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ∼ p หมายถึง ประพจน์ ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับค่าความ
จริงของประพจน์ p
ข้อตกลงของประพจน์ใหม่ในกรณีที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมต่าง ๆ มีดังนี้
1. p ∧ q เป็นจริงในกรณีที่ p ≡ q ≡ T กรณีอื่น ๆ เป็นเท็จทุกกรณี
2. p ∨ q เป็นเท็จในกรณีที่ p ≡ q ≡ F กรณีอื่น ๆ เป็นจริงทุกกรณี
3. p → q เป็นเท็จในกรณีที่ p ≡ T และ q ≡ F เท่านั้น กรณีอื่น ๆ เป็นจริงทุกกรณี
4. p ↔ q เป็นจริงในกรณีที่ p ≡ q ≡ T หรือ p ≡ q ≡ F กรณีอื่น ๆ เป็นเท็จทุกกรณี
