ตรรกศาสตร์เบื้องต้นและการให้เหตุผล

การดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์

การเชื่อมโยงระหว่างประพจน์ตั้งแต่สองประพจน์ขึ้นไปแล้วทำให้เกิดประพจน์ใหม่ เราเรียกการเชื่อมโยงนี้ว่าการดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์ ตัวดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์ประกอบด้วยคำว่า “และ” “หรือ” “ถ้า-แล้ว” และ“ก็ต่อเมื่อ” นอกจากนี้ยังมีตัวดำเนินการนิเสธซึ่งไม่ได้ทำหน้าที่เชื่อมประพจน์ตั้งแต่สองประพจน์ขึ้นไป แต่ใช้สร้างประพจน์ที่มีความจริงตรงกันช้ามกับประพจน์หนึ่ง

ตัวดำเนินการนิเสธ

ดังที่กล่าวมาในข้างต้นการดำเนินการนิเสธจะทำให้ได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์เดิมด้วยการเพิ่มคำว่า “ไม่” ลงในประพจน์ตั้งต้นนั้นคือถ้าเรากำหนดให้ P เป็นประพจน์แล้วนิเสธของ P เขียนแทนด้วย “P’” จะได้ว่า

กรณีที่ 1 ประพจน์ P มีค่าความจริง ( T ) จะได้ว่า P’ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ( F )

กรณีที่ 2 ประพจน์ P มีค่าความเท็จ ( F ) จะได้ว่า P’ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ( T )

ตัวอย่างเช่น ให้ P := 78 > 60 มีค่าความจริงเป็นจริงดังนั้น P’ := “78 ไม่มาก 60”หรือ “78 น้อยกว่าหรือเท่ากับ 60” มีค่าความจริงเป็นเท็จ ในทำนองเดียวกันถ้าให้ P := 78 < 60 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วประพจน์ P’ := “78 ไม่น้อยกว่า 60” หรือ “78 มากกว่าหรือเท่ากับ 60” จะค่าความจริงเป็นจริง

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการหรือ

ในตัวอย่างข้างต้นเราจะพบการใช้คำว่าหรือเชื่อมระหว่างประพจน์สองประพจน์คือข้อความ “78 มากกว่าหรือเท่ากับ 60” ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง ประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์คือ “78 มากกว่า 60” กับ “78 เท่ากับ 60” เชื่อมกันด้วยคำว่าหรือ มีค่าความจริงเป็นจริงและเป็นเท็จตามลำดับ สังเกตว่าเมื่อเชื่อมกันด้วยคำว่าหรือแล้วประพจน์ดังกล่าวความมีค่าความจริงเป็นจริง นั้นแสดงว่าประพจน์ที่มีใช้คำเชื่อมหรือหากมีประพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งประพจน์เป็นจริงแล้วประพจน์ดังกล่าวจะเป็นจริงด้วย กล่าวได้อีกว่าคำเชื่อมหรือนั้นเป็นคำเชื่อมเผื่อเลือก เมื่อกำหนดให้ P และ Q เป็นประพจน์ P หรือ Q จะเป็นเท็จ เมื่อ P เป็นเท็จ และ Q เป็นเท็จ

ข้อควรระวังการตีความคำว่าหรือ ในทางภาษานั้น หรือ อาจให้ความหมายอีกนัยยะคือ หรือ แบบให้เลือกอย่างใดอย่างหนึ่งเช่นจำนวนเต็มใด ๆเป็นจำนวนคี่ หรือ จำนวนคู่ ซึ่งจะเห็นว่าประพจน์ย่อยจะเป็นจริงทั้งคู่ไม่ได้ แต่ในทางตรรกศาสตร์ถ้า P เป็นจริงและ Q เป็นจริง P หรือ Q เป็นจริง

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการ

สมมติให้ P := “10 < 25” และ Q := “10 > 5” จะเห็นว่าต่างมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่ พิจารณาข้อความ P และ Q := “10 < 25 และ 10 > 5” อาจเขียนได้เป็น “5 < 10 <25 “ ซึ่งเป็นจริง แต่หากมีประพจน์ย่อยประพจน์หนึ่งเป็นเท็จจะทำให้ประพจน์ที่เชื่อมด้วยคำว่าและเป็นเท็จทันที นั้นคือประพจน์ P และ Q จะเป็นจริง เมื่อ P เป็นจริง และ Q เป็นจริง

สัจนิรันดร์

สัจจะ แปลว่าจริง ส่วนนิรันดร์ แปลว่าตลอดกาล ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย

ประโยคเปิด (Open Sentence)

คือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃)

ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์”  ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]

~∃x[P(x)] สมมูลกับ∀x[~P(x)]

~∀x[~P(x)] สมมูลกับ∃x[P(x)]

~∃x[~P(x)] สมมูลกับ∀x[P(x)]

“ ข้อสรุป ” ของเราเป็น
ความจริง มีส่วนประกอบของการให้เหตุผล คือ
1. ส่วนที่เป็นข้ออ้าง ( เหตุ ) หมายถึง หลักฐาน
2. ส่วนที่เป็นข้อสรุป ( ผล ) หมายถึง สิ่งที่เราต้องการบอกว่าเป็นจริง

การให้เหตุผลแบบอุปนัย(Inductive reasoning ) เป็นการ  ให้เหตุผลโดยการอ้าง หลักฐาน จากประสบการณ์ การ
สังเกตและการทดลอง จึงสรุปเป็นกฎ หรือความเป็นจริงทั่วๆไป เกี่ยวกับสิ่งนั้น

เหตุ1) ความจริงย่อยที่ 1 แม่ชอบซื้อสินค้าที่มีของแถม (ประโยคอ้าง)
2) ความจริงย่อยที่ 2 พี่สาวชอบซื้อสินค้าที่มีของแถม (ประโยคอ้าง)
3) ความจริงย่อยที่ 3 เพื่อผู้หญิงชอบซื้อสินค้าที่มีของแถม (ประโยคอ้าง)
4) ความจริงย่อยที่ 4 ป้าชอบซื้อสินค้าที่มีของแถว (ประโยคอ้าง)
ผลสรุป ผู้หญิงชอบซื้อสินค้าที่มีของแถม (ข้อสรุป)

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย ( Deductive reasoning ) การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผลที่อ้างว่าสิ่งที่ก าหนดให้(เหตุ)
ยืนยันผลสรุป โดยก าหนดให้เหตุ (หรือข้อสมมติ) เป็นจริง หรือยอมรับว่าเป็น จริง แล้วใช้กฏเกณฑ์ต่างๆ สรุปผลจากเหตุที่ก าหนดให้

ตัวอย่าง 1
เหตุ (1) ถาไมสบายตองกินยา
(2) อุไมสบาย
ผล (3) อุตองกินยา

ตัวอย่าง 2
เหตุ (1) ดอกไม้สีขาวมีกลิ่นหอม (ความรู้เดิมหรือประโยคอ้าง)
(2) ดอกมะลิมีสีขาว (ความจริงย่อย)
ผล (3) ดอกมะลิมีกลิ่นหอม (ข้อสรุป)

ประโยชน์ของตรรกวิทยา
1.ตรรกวิทยาท าให้เราคิดหาเหตุผลได้อย่าง
สมเหตุสมผล
2.เป็นรากฐานเบื้องต้นของศาสตร์ทุกสาขา
ความรู้ศาสตร์นั้นๆจะต้องอาศัยหลักแห่ง
ความคิดที่ถูกต้องของตรรกวิทยาเท่านั้น หลัก
ความคิดที่ว่านั้นคือ
2.1) เหตุกับผลต้องพอเหมาะพอเจาะกัน
2.2) เหตุกับผลจะต้องเกี่ยวข้องเป็นชนิด
เดียวกัน
2.3) ผลย่อมมาจากเหตุ
3.เป็นเครื่องมือดีเลิศส าหรับใช้ฝึกวุฒิปัญญา
4.เป็นเครื่องมือวิเคราะห์ข้อมูล

นิยาม : ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร หรือตัวไม่รู้ค่าอยู่ในประโยค และยังไม่สามารถระบุค่าความจริงของประโยคได้ ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ

ประโยคบอกเล่า/ปฏิเสธ ตัวแปรหรือตัว
ไม่รู้ค่า
1) เขาเป็นนายกรัฐมนตรีคนปัจจุบัน
ของประเทศไทย
เขา
2) เขาเป็นคนไทย เขา
3) x + 5 = 12 x
4) p + 2q = 10 เมื่อ p = 3 q

ประพจน์คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่บอกค่าความจริงได้ว่า จริงหรือเท็จ เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ฉะนั้นประโยคใดที่ไม่ใช่
ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ จึงไม่ใช่ประพจน์ เช่น ประโยคที่อยู่ใน รูปของประโยคค าถาม ค าสั่ง ค าขอร้อง ค าอ้อนวอน ค าอุทาน ข้อห้าม
ข้อปฏิบัติข้อความที่แสดงความต้องการ อยากได้หรือปรารถนา ภาษิต คำพังเพย จะไม่ใช่ประพจน์ทั้งสิ้นเพราะไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริง หรือเท็จดังประโยคต่อไปนี้
1) ขอจงทรงพระเจริญ 7) คุณพระช่วย ! จริงหรือ
2) โปรดใช้สะพานลอย 8) ฉันอยากถูกสลากออมสินรางวัลที่ 1
3) อย่าเดินลัดสนาม 9) ตั้งใจเรียนนะ
4) ) น้ านิ่งไหลลึก 10) น้ ามันขึ้นราคาเป็นเท่าไรแล้ว
5) อย่ามาสาย 11โปรดรักษาความสะอาด
6) จงคิดดี ปฏิบัติดี