ตรรกศาสตร์เบื้องต้น-คณิตศาสตร์ออนไลน์

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ประพจน์และค่าความจริงของประพจน์
ประพจน์ (proposition (or statement)) คือ ประโยค (sentence) ที่บอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง ดังนั้น ทุกประพจน์จะต้องมีค่าความจริงเพียงค่าเดียว คือจริง (จะเขียนแทนด้วย T) หรือเท็จ(จะ เขียนแทนด้วย F) เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ตัวอย่าง 3. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่เพราะเหตุใด
ก. 2/3 เป็นจำนวนตรรกยะ
ข. 1 + 3 = 6
ค. จังหวัดพิษณุโลกกำลังจะเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย
ง. บ้านคุณอยู่ไหน
จ. x + 3 = 7
ฉ. ประโยคนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ช. เขาคนนั้นเป็นตำรวจใช่หรือไม

เราเรียกประพจน์ที่เป็นประโยคเดียวดังตัวอย่างข้างต้นว่า ประพจน์เชิงเดี่ยว (simple statement) ในทาง
คณิตศาสตร์เราสามารถนำประพจน์เชิงเดี่ยวมาเชื่อมกันได้โดยอาศัยตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ (logical connective) ซึ่งจะถูกเรียกว่าเป็น ประพจน์เชิงซ้อน (complex statement) เราสามารถระบุค่าความจริงของประพจน์
เชิงซ้อนได้ตามบทนิยามต่อไปนี้

ค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อน
ให้p และ q เป็นประพจน์
• ประพจน์ร่วม (conjunction) ของ p และ q เขียนแทนด้วย p ∧ q คือประพจน์ “p และ q” ซึ่งเป็นจริงเพียงกรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็นจริง
• ประพจน์เลือก (disjunction) ของ p และ q เขียนแทนด้วย p ∨ q คือประพจน์ “p หรือ q” ซึ่งเป็นจริงเมื่ออย่างน้อย p เป็นจริง หรือ q เป็นจริง
• ประพจน์นิเสธ (negation) ของ p เขียนแทนด้วย ∼ p คือประพจน์ “ไม่ใช่ p” ประพจน์นี้จะ
มีค่าความจริงตรงข้ามกับ p นั่นคือ ∼ p เป็นจริงเมื่อ p เป็นเท็จ และ ∼ p เป็นเท็จเมื่อ p เป็น จริง
• ประพจน์มีเงื่อนไข (conditional) p ⇒ q คือ ประพจน์ “ถ้า p แล้ว q” เราเรียก p ว่า เหตุ
(antecedent) และเรียก q ว่า ผล หรือ ข้อตาม (consequent) ประพจน์มีเงื่อนไขนี้จะเป็น จริง เมื่อเหตุเป็นเท็จ หรือผลเป็นจริง
• ประพจน์เงื่อนไขสองทาง (bi-conditional) p ⇔ q คือ ประพจน์ “p ก็ต่อเมื่อ (if and only if) q” ประพจน์เงื่อนไขสองทางนี้จะเป็นจริง เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกันเท่านั้น

: การสมมูลกันของประพจน์
เราจะกล่าวว่า ประพจน์p สมมูล (equivalence) กับประพจน์q ก็ต่อเมื่อ ทั้งสองประพจน์มีค่าความ
จริงเหมือนกันในทุกกรณี ในกรณีนี้จะเขียนแทนด้วย p ≡ q และเมื่อประพจน์สองประพจน์สมมูลกัน
เราสามารถใช้ประพจน์นั้นแทนกันได้

การแสดงว่าสองประพจน์สมมูลกันหรือไม่นั้นให้พิจารณาจากตารางค่าความจริง
หมายเหตุ
1. ประโยคในภาษาพูดเหล่านี้ล้วนมีความหมายแทนประพจน์p ⇒ q:
p ทำให้ได้q (p implies q)
p เป็นเงื่อนไขเพียงพอสำหรับ q (p is sufficient for q)
p ต่อเมื่อ q (p only if q)
q ถ้า p (q if p)
q เป็นเงื่อนไขจำเป็นสำหรับ p (q is necessary for p)
q เมื่อ p (q when p)
2. สำหรับประพจน์p ⇒ q เราเรียก
– ประพจน์q ⇒ p ว่า บทกลับ (converse) ของ p ⇒ q
– ประพจน์∼ q ⇒∼ p ว่า ประพจน์แย้งสลับที่ (contrapositive) p ⇒ q
– ประพจน์∼ p ⇒∼ q ว่า ประพจน์ผกผัน (inverse) ของ p ⇒ q
ตัวอย่าง 5. จงใช้ตารางค่าความจริงแสดงได้ว่า p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p แต่ p ⇒ q ̸≡ q ⇒ p

: สัจนิรันดร์ และ ข้อขัดแย้ง
• เราจะกล่าวว่า ประพจน์p เป็น สัจนิรันดร์ (tautology) ก็ต่อเมื่อ p มีค่าความจริงเป็น จริง
ในทุกกรณี
• เราจะกล่าวว่า ประพจน์q เป็น ข้อขัดแย้ง (contradiction) ก็ต่อเมื่อ q มีค่าความจริงเป็น
เท็จ ในทุกกรณี
ข้อสังเกต 1.2. เราจะเห็นว่า ประพจน์p จะ สมมมูลกับประพจน์q ก็ต่อเมื่อ ประพจน์p ⇔ q เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.3. สัจนิรันดร์ที่สำคัญ: ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์
T1 p∨ ∼ p excluded middle
T2 ∼ (∼ p) ⇔ p
T3 ก. p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r กฎการเปลี่ยนกลุ่ม (associative law)
ข. p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
T4 ก. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) กฎการแจกแจง (distributive law)
ข. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
T5 ก. ∼ (p ∨ q) ⇔∼ p∧ ∼ q กฎเดอมอร์แกน (De Morgan’s law)
ข. ∼ (p ∧ q) ⇔∼ p∨ ∼ q
T6 ก. (p ⇒ q) ⇔∼ p ∨ q
ข. ∼ (p ⇒ q) ⇔ p∧ ∼ q
T7 (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) กฎการแย้งสลับที่ (contrapositive law)
T8 ∼ ((p ⇒ q) ∧ p)) ⇒ q modus ponen
T9 (p ⇒ q ∧ (∼ q)) ⇒∼ p modus tolleus
T10 ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) hypothetical syllogism
T11 (p ∨ q) ∧ (∼ p) ⇒ q disjunctive syllogism
T12 p ⇒ (p ∨ q) addition
T13 ก. (p ∧ q) ⇒ p simplification
ข. (p ∧ q) ⇒ q
T14 ก. (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ⇔ (p ∨ q ⇒ r)
ข. (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ⇔ (p ⇒ q ∧ r)
T15 p ⇔ (∼ p ⇒ (q∧ ∼ q))
T16 (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q ∧ (q ⇒ p))

ตัวบ่งปริมาณมีเพียงสิ่งเดียว
สำหรับประโยคเปิด P(x) ประพจน์ในรูปสัญลักษณ์ “∃!x[P(x)]” เราอ่านว่า “มีx เพียงตัวเดียว เท่านั้นที่เป็น P(x)” และเรียกสัญลักษณ์∃! ว่า ตัวบ่งปริมาณมีเพียงสิ่งเดียว (unique existence quantifier) ซึ่งประพจน์ “∃!x[P(x)]” จะเป็นจริง ก็ต่อเมื่อมี a เพียงตัวเดียวเท่านั้นในเอกภพ สัมพัทธ์ที่ทำให้P(a) เป็นจริง