ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์
            คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น“ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์
การใช้เหตุผลวิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ
            1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า“ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล”
            2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
            3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ” 

ประพจน์ (Proposition)
            ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น  ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
            ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์            จังหวัดชลบุรีอยู่ทางภาคตะวันออกของไทย ( จริง )
            5 × 2 = 2 + 5 ( เท็จ )
            ตัวอย่างต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์
            โธ่คุณ ( อุทาน )
            กรุณาปิดประตูด้วยครับ ( ขอร้อง )
            ท่านเรียนวิชาตรรกวิทยาเพื่ออะไร ( คำถาม )
ประโยคเปิด (Open sentence)
            บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง
            ประโยคเปิด เช่น
            1.เขาเป็นนักบาสเกตบอลทีมชาติไทย
            2. x + 5 =15
            3. y < – 6
            ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
            1.10 เป็นคำตอบของสมการ X-1=7
            2.โลกหมุนรอบตัวเอง
            3.จงหาค่า X จากสมการ 2x+1=8
การเชื่อมประพจน์ (connective)
            1. ตัวเชื่อมประพจน์ “ และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน  ∧  และเขียนแทนด้วย P ∧ Qแต่ละประพจน์มีค่าความจริง(truth value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้าทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่า P∧Q เป็นจริง กรณีอื่นๆ P ∧ Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริงP ∧ Q
            โดยตารางแสดงค่าความจริง (truth table) ดั้งนี้

P	Q	P ∧ Q
TTFF	TFTF	TFFF

            ตัวอย่าง 5+1 = 6 ∧ 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
            5+1 = 6 ∧ 2 มากกว่า 3 (เท็จ)
            5+1 = 1 ∧ 2 น้อยกว่า 3 (เท็จ)
             5+1 = 1 ∧ 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

            2. ตัวเชื่อมประพจน์ “ หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P V Q

จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง เรา ให้นิยามค่าความจริงของ P V Q

            ตัวอย่างตารางค่าความจริง ดังนี้

P	Q	P V Q
TTFF	TFTF	TTTF

ตัวอย่าง           5 + 1 = 6 V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
                        5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 (จริง)
                        5 + 1 = 1V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
                        5 + 1 = 1V 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

            3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน → และเขียนแทนด้วยP→ Q

            นิยามค่าความจริงของ P → Q โดยแสดงตารางค่าความจริงดังนี้

P	Q	P → Q
TTFF	TFTF	TFTT

 ตัวอย่าง          1 < 2 → 2 < 3 (จริง) 
                        1 < 2 → 3 < 2 (เท็จ) 
                        2 < 1 → 2 < 3 (จริง)
                        2 < 1 → 3 < 2 (จริง)

            4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ก็ต่อเมื่อ ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน ⇔ และเขียนแทนด้วย P⇔Q นั้นคือ P⇔Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P ⇔ Q

P	Q	P⇔Q
TTFF	TFTF	TFFT

ตัวอย่าง           1 < 2 ⇔ 2 < 3 (จริง)
                        1 < 2 ⇔ 3 < 2 (เท็จ)
                        2 < 1  ⇔2 < 3 (จริง)
                        2 < 1 ⇔ 3 < 2 (เท็จ)

            5. นิเสธ (Negation) ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ Pด้วย ~P ถ้า P เป็นประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกัน P

ตารางแสดงค่าความจริงดั้งนี้

P	~P
TF	FT

ตัวอย่าง ถ้า p แทนประโยคว่า “วันนี้เป็นวัน เสาร์” นิเสธของ p หรือ ~p คือประโยคที่ว่า “วันนี้ไม่เป็นวันเสาร์”

สัจนิรันดร์ (Tautology)

สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology statement)ตัวอย่างที่ 1 P→ PvQเป็นสัจนิรันดร์ เราสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี

P	Q	P v Q	P → PvQ
T        T        F        F	TTTF	TTTF	TTTT

            จากตารางแสดงค่าความจริงไม่ว่า P และ Q จะเป็นจริงหรือเท็จก็ตาม ประพจน์ P→  PvQ เป็นจริงเสมอ ดังนั้นประพจน์นี้เป็น สัจนิรันดร์

 ความขัดแย้ง (Contradiction)

            ความขัดแย้ง (Contradiction) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบ เป็นความขัดแย้ง เรียกว่า ประพจน์ความขัดแย้ง (Contradicithon statement)

            ตัวอย่าง P ^ ~P เป็น ความขัดแย้ง ตารางแสดงค่าความจริง 

p	~P	P ^ ~P
TF	FT	FF

      



P ^ ~P มีค่าเป็นเท็จ สำหรับทุกๆ ค่าความจริงของ P 
ดังนั้น P ^ ~P จึงเป็นความขัดแย้ง (Contradicithon )

ทฤษฎีตรรกสมมูล (Logical Equivalences)

            ความรู้ประพจน์ตรรกะสมมูล (Logical equivalent statement)มีประโยชน์มาก
สำหรับการหาข้อโต้แย้งและข้อสรุปในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งในทางปฏิบัติแล้ว การสรุปเหตุผลในแต่ละรูปจะยุ่งยากมากหากไม่อาศัยทฤษฎี ตรรกะสมมูลในการกล่าวอ้าง ดังนั้นจึงสรุปทฤษฎีตรรกะสมมูลไว้สำหรับใช้อ้างอิงต่อไป

กำหนดให้ p , q , rแทนประพจน์ใดๆ t แทนสัจนิรันดร์ c แทนความขัดแย้ง

            1. กฎการสลับที่ (Commutative laws)
            p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p 
            2. กฎการเปลี่ยนหมู่ (Associative laws)
            (p ^ q) ^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r = p v (q ^ r)
            3. กฎการแจกแจง (Distributive laws)
            p ^ (q v r) = (p ^ q) v ( p ^ r) ,
            p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p v r)
            4. กฎเอกลักษณ์ (Identity laws)
            p v t = t , p ^ t = p
            5. กฎนิเสธ (Negative laws)
            p v ~p = t , p ^ ~ p = c
            6.กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double negative laws)
            ~(~p) = p
            7. กฎนิจพล (Idempotent laws)
            p ^p = p , p = p
            8. กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws)
            ~(p ^q) = ~p v ~q , ~(p v q) = ~p v ~q
            9. กฎการจำกัดขอบข่าย (Universal bound laws)
            p v t = t , p ^ c = c
            10. กฎการซึมซับ (Absorption laws)
            p v (p ^ q) = p , p ^ (p v q) = p
            11. นิเสธของ c และ t
            ~t = c , ~c=t

ตัวบ่งปริมาณ(Quantified statement)

            ตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์ มี 2 ชนิด คือ
            1) ตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด” หมายถึงทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องการพิจารณาในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกับ “ทั้งหมด” ได้ ได้แก่ “ทุก”   “ทุก ๆ” “แต่ละ” “ใด ๆ” ฯลฯ เช่น คนทุกคนต้องตาย, คนทุก ๆ คนต้องตาย, คนแต่ละคนต้องตาย, ใคร ๆ ก็ต้องตาย
          2) ตัวบ่งปริมาณ “บาง” หมายถึงบางส่วนหรือบางสิ่งบางอย่างที่ต้องการพิจารณา ในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกันได้ ได้แก่ “บางอย่าง” “มีอย่างน้อยหนึ่ง” เช่น สัตว์มีกระดูกสันหลังบางชนิดออกลูกเป็นไข่, มีสัตว์มีกระดูกสันหลังอย่างน้อยหนึ่งชนิดที่ออกลูกเป็นไข่ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
            1.∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
            2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
            3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
            4.∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

การให้เหตุผล (Reasoning)โดยทั่วไปกระบวนการให้เหตุผลมี 2 ลักษณะคือ
            1.การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุ โดยนำข้อความที่กำหนดให้ ซึ่งต้องยอมรับว่าเป็นจริง ทั้งหมด เรียกว่า เหตุ และข้อความจริงใหม่ที่ได้เรียกว่า ผลสรุป ซึ่งถ้า พบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้ แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

            ตัวอย่าง           เหตุ 1. คนทุกคนต้องหายใจ

                                           2 . นายเด่นต้องหายใจ 

ผลสรุป            นายเด่นต้องหายใจ

            จะเห็นว่า จากเหตุที่1 และเหตุที่ 2 บังคับให้เกิดผลสรุปดังนั้นการให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผลสมเหตุสมผล

            2.การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือ คำพยากรณ์และจะต้องมีข้อสังเกต หรือ ผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย