ตรรกศาสตร์ ม.4
ประพจน์
ประพจน์ (Statement) คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็น “จริง” หรือ “เท็จ” อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เรียก จริง (True: T) หรือ เท็จ (False: F) ว่า ค่าความจริง (Truth value) ของประพจน์
ประโยคที่มีความจริงเป็นจริง (T) หรือเท็จ (F) อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
การเชื่อมประพจน์
ในชีวิตประจำวันน้อง ๆ จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมกันมากกว่าหนึ่งประโยค โดยในบทนี้ตัวเชื่อมที่น้อง ๆ จะเจอ ได้แก่ “และ” “หรือ” “ถ้า…แล้ว…” “ก็ต่อเมื่อ”
การหาค่าความจริงของประพจน์
จากตารางค่าความจริงในหัวข้อก่อนหน้านี้ ที่มีตัวเชื่อมแบบต่าง ๆ ที่เราเคยกล่าวมาแล้ว
ตัวเชื่อมประพจน์
∧ และ
∨ หรือ
→ ถ้า…แล้ว
↔ ก็ต่อเมื่อ
~ นิเสธ
ตัวบ่งปริมาณ
∀x (x ทุกตัวใน ∪)
∃x (x บางตัวใน ∪)
การอ้างเหตุผล
- เหตุและผลเป็นจริง
- เหตุและผลเป็นสัจนิรันดร์
- สมเหตุสมผล (Valid)
- เหตุละผลเป็นเท็จ (อย่างน้อย 1 ตัว)
- เหตุและผลไม่เป็นสัจนิรันดร์
- ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)
สัจนิรันดร์
ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ประโยคเปิด
ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปร เมื่อแทนค่าด้วยสมาชิกใน U นั้น จะกลายเป็นประพจน์ เช่น P(x, y), Q(x, y)
นิเสธ (∼)
นิเสธ คือ การที่เราจะเอาค่าความจริงที่อยู่ตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์นั้น ตารางค่าความจริงของ ‘นิเสธ’ คือ
| pp | ∼p∼p |
|---|---|
| TT | FF |
| FF | TT |
หรือ (∨)
หรือ เป็นตัวเชื่อมประพจน์ที่บอกว่า ถ้ามีประพจน์ย่อยใดประพจน์นึงมีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ว่าประพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็นจริง ตารางค่าความจริงของ ‘หรือ’ คือ
| pp | p∨qp∨q | |
|---|---|---|
| TT | TT | TT |
| TT | FF | TT |
| FF | TT | TT |
| FF | FF | FF |
หรือ (∨)(∨) จะให้ค่าความจริงเป็น เท็จกรณีเดียว เท่านั้น คือ F∨FF∨F
และ (∧)(∧)
และ เป็นตัวเชื่อมประพจน์ที่บอกว่าประพจน์จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อประพจน์ย่อยทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น ตารางค่าความจริงของ ‘และ’ คือ
| pp | p∧qp∧q | |
|---|---|---|
| TT | TT | TT |
| TT | FF | FF |
| FF | TT | FF |
| FF | FF | FF |
และ (∧)(∧) จะมีค่าความจริงเป็น จริงกรณีเดียว เท่านั้น คือ T∧TT∧T
ถ้าแล้ว (→)
ถ้าแล้ว เป็นตัวเชื่อมที่ประพจน์ที่อยู่หน้าเครื่องหมายถ้าแล้ว จะเป็นเหตุ และ ประพจน์ที่อยู่หลังเครื่องหมายถ้าแล้วจะเป็นผล
ตารางค่าความจริงของ ‘ถ้าแล้ว’ คือ
| pp | p→qp→q | |
|---|---|---|
| TT | TT | TT |
| TT | FF | FF |
| FF | TT | TT |
| FF | FF | TT |
ถ้าแล้ว (→)(→) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จกรณีเดียว เท่านั้น คือ T→FT→F
ก็ต่อเมื่อ (↔)
ก็ต่อเมื่อ เป็นตัวเชื่อมที่จะให้ค่าความจริงเป็นเมื่อทั้งสองประพจน์ที่เชื่อมมีค่าความจริงเหมือนกัน ตารางค่าความจริงของ ‘ก็ต่อเมื่อ’ คือ
| pp | p↔qp↔q | |
|---|---|---|
| TT | TT | TT |
| TT | FF | FF |
| FF | TT | FF |
| FF | FF | TT |
