ประโยคเปิด ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
ประโยคเปิด
จากที่กล่าวมาแล้วข้างต้นว่า ประโยคหรือข้อความใดที่มีตัวแปรเข้ามาเกี่ยวข้องและเราไม่สามารถหาค่าความจริงได้ เราเรียกประโยคนั้นว่า ประโยคเปิด
ประโยคเปิดสามารถทำให้เป็นประพจน์ได้ ถ้าเรานำค่าบางค่ามาแทนตัวแปรในประโยคเปิด ซึ่งจะมีผลทำให้เราทราบทันที ว่าประโยคเปิดเหล่านี้เป็นจริงหรือเท็จ
สรุป ประโยคบอกเล่าที่มีตัวแปรอาจจะเป็นประพจน์ได้ถ้าประกอบด้วย 3 ส่วนที่สำคัญต่อไปนี้
1. ส่วนที่เป็นประโยคเปิด 2. ส่วนที่บ่งบอกถึงเอกภพสัมพัทธ์
3. ส่วนที่บ่งบอกถึงตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งประมาณ
ในวิชาตรรกศาสตร์ จะมีตัวบ่งปริมาณอย่างคร่าว ๆ อยู่ 2 ชนิด คือ
1. ตัวบ่งปริมาณ “ ทั้งหมด ” ( Universal Quantifier ) ได้แก่คำว่า “ ทั้งหมด ” , “ ทุก ” , “ แต่ละ ” เป็นต้นซึ่งหมายถึงต้องใช้ทุกสิ่งทุกอย่างในเอกภพสัมพัทธ์และใช้สัญลักษณ์ ∀ ( all ) แทนตัวบ่งปริมาณ “ ทั้งหมด ” นั่นคือ ถ้าให้ P ( x ) แทน ประโยคเปิด หมายถึง สำหรับทุกๆ x ใน U ( เอกภพสัมพัทธ์ ) มีเงื่อนไข P ( x )
2. ตัวบ่งปริมาณ “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ” ( Existential Quantifier ) ได้แก่คำว่า “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ” , “ มีบางตัว ” เป็นต้นซึ่งหมายถึงต้องใช้อย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์และใช้สัญลักษณ์ ∃ ( some ) แทนตัวบ่งปริมาณ “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ” นั่นคือ ถ้าให้ P ( x ) แทน ประโยคเปิด หมายถึง มี x บางตัว ใน U ( เอกภพสัมพัทธ์ ) มีเงื่อนไข P ( x )
ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว
1. ประโยค ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
2. ประโยค ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3. ประโยค ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
4. ประโยค ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด
ค่าความจริงของประโยคที่มีบ่งปริมาณสองตัว
1. ประโยค ∀x∀y [P(x,y)] มีค่าความเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ P(a,b) เป็นจริงเสมอ
2. ประโยค ∀x∀y [P(x,y)] มีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ P(a,b) เป็นเท็จ
3. ประโยค ∃x∃y [P(x,y)] มีค่าความเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ P(a,b) เป็นจริง
4. ประโยค ∃ x ∃ y [P(x,y)] มีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ P(a,b) เป็นเท็จ
5. ประโยค ∀x∃y [P(x,y)] มีค่าความเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ประโยค ∃y [P(a, y)] เป็นจริง
6. ประโยค ∀x ∃y [P(x,y)] มีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ประโยค ∃y [P(a, y)] เป็นเท็จ
7. ประโยค ∃x∀y [P(x,y)] มีค่าความเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยค ∀y [P(a, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง
8. ประโยค ∃x∀y [P(x,y)] มีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยค ∀y [P(a, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ(นั่นคือไม่สามารถหาค่าของ a ซึ่งทำให้ประโยค ∀y [P(a, y)] เป็นจริงได้เลย)
