ตรรกศาสตร์ (Logic)ม.4

ตัวบ่งปริมาณ เป็นหนึ่งในเรื่องที่คนเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 มักบอกว่า “ยาก งง และสับสน” ทำให้หลายคนเลือกที่จะปล่อยเรื่องนี้ และไปเก็บคะแนนในเรื่องอื่นแทน ซึ่งในความเป็นจริง ถ้าน้องๆเข้าใจหลักการคิด วิธีการ และฝึกฝนการทำโจทย์บ่อยๆ น้องๆจะเข้าใจได้เลยว่า เรื่องนี้ก็เหมือนกับการหาค่าความจริงเท่านั้นเอง แค่มีรูปแบบที่เปลี่ยนไปเท่านั้นเอง

สิ่งที่ทุกคนจะได้จากการอ่านบทความนี้คือ รู้วิธีการหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณทั้ง 1 และ 2 ตัวแปร โดยพวกเรา fellowie ได้สรุปมาสั้นๆ แต่เนื้อหายังครบถ้วน เพื่อให้ทุกคนเข้าใจได้ง่าย แถมเพิ่มเติม!!! ด้วยรูปแบบนิเสธของตัวบ่งปริมาณที่ต้องเจอบ่อยๆ ให้ด้วย

อย่าลืม!! ฝึกทำโจทย์และทบทวนบ่อยๆ จะช่วยเพิ่มความเข้าใจ ความชำนาญ และสามารถทำโจทย์หรือข้อสอบทุกรูปแบบได้ง่ายขึ้นด้วย

ตัวบ่งปริมาณคืออะไร?

ตัวบ่งปริมาณ คือสัญลักษณ์ที่ใช้บอกจำนวนของตัวแปรใน “ประโยคเปิด” ว่ามีจำนวนเท่าใด

ประโยคเปิด คืออะไร?

หลายคนอ่านความหมายของตัวบ่งปริมาณ แล้วคงสงสัยว่า “ประโยคเปิด คืออะไร” ซึ่งประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร แต่ไม่เป็นประพจน์ และไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ โดยที่เมื่อแทนค่าด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วประโยคเปิดนั้นจะกลายเป็นประพจน์

ประโยคเปิดใดๆ  ที่มี x เป็นตัวแปร สามารถเขียนแทนได้ด้วย P(x)
การหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัวแปร

เราสามารถหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัวแปรได้ดังนี้

∀x∀y[P(x,y)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) ทุกคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) อย่างน้อย 1คู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

∃x∃y[P(x,y)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) อย่างน้อย 1คู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นจริง
เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก (x,y) ทุกคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ (U) แล้วทำให้ P(x,y) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

∀x∃y[P(x,y)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง (x ทุกตัว สามารถจับคู่กับ y ได้)
เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ (x อย่างน้อย 1 ตัว ไม่สามารถจับคู่กับ y ได้เลย)

∃x∀y[P(x,y)] จะมีค่าความจริง

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x อย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∀y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ( x อย่างน้อย 1 ตัว สามารถจับคู่กับ y ได้ทุกตัว)
เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิก x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ (U)  แล้วทำให้ ∃y[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ( ไม่มี x ที่สามารถจับคู่กับ y บางตัวได้เลย)