ตัวประกอบของจำนวนนับ‎-การแยกตัวประกอบ และการหาตัวหารร่วม

ตัวประกอบ หมายถึง จำนวนนับที่หารจำนวนนับที่เรากำหนดให้ได้ลงตัว เช่น a จะเป็นตัวประกอบของ b ก็ต่อเมื่อ b หารด้วย a ลงตัว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ a หาร b ลงตัว
ตัวอย่าง
30 หารด้วย 6 ลงตัว แสดงว่า 6 เป็นตัวประกอบของ 30 ในขณะที่ 30 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว แสดงว่า 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ 30 เป็นต้น
หรือ
จำนวนที่หาร 18 ลงตัวประกอบด้วย 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 แสดงว่า 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 เป็นตัวประกอบของ 18
จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 กับตัวของมันเอง
การหาตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ จะพบว่า บางจำนวนที่ตัวประกอบเพียง 1 ตัว บางจำนวนมีตัวประกอบ 2 ตัว ในขณะที่บางตัวมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
1 มีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 1
6 มีตัวประกอบ 4 คือ 1 , 2 , 3 , 6
2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 2 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 3 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
จากตัวอย่างด้านบน เราพบว่า 1 มีตัวประกอบ 1 ตัว 6 มีตัวประกอบ 4 ตัว ในขณะที่ 2 และ 3 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 กับ ตัวของมันเอง เราเรียกจำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวนี้ว่า จำนวนเฉพาะ
ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของจำนวนนับใดที่เป็นจำนวนเฉพาะ
การหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใด ๆ นั้น เราจะต้องหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับนั้น ๆก่อน จากนั้นจึงค่อยพิจารณา ตัวประกอบเหล่านั้นว่า มีจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะบ้าง ซึ่งจำนวนเฉพาะเหล่านั้นเราเรีนกว่า ตัวประกอบเฉพาะ
ตัวอย่าง
ตัวประกอบของ 12 ประกอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
ตัวประกอบเฉพาะของ 12 ประกอบด้วย 2 , 3
ทั้งนี้เพราะว่า 2 , 3 เป็นตัวประกอบของ 12 และเป็นจำนวนเฉพาะด้วย

การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ หมายถึง การเขียนในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับนั้น ๆ
ตัวอย่าง
12 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 2 x 2 x 3
จากตัวอย่างจะพบว่า 2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 ซึ่งอาจมีการคูณซ้ำกันหลายครั้งก็ได้ และการคูณซ้ำกันหลายครั้ง สามารถเขียนในรูปของเลขยกกำลังได้ กล่าวคื อเราจะแยกตัวประกอบของ 12 เป็น x 3 แทน 2 x 2 x 3 ก็ได้ ( อ่านว่า 2 ยกกำลัง 2 )
ตัวอย่างเพิ่มเติม
75 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 3 หรือ x 3
100 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 2 x 2 หรือ x
การแยกตัวประกอบสามารถกระทำได้ดังนี้

วิธีที่ 1 วิธีเขียนในรูปกระจายของผลคูณของตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบโดยวิธีนี้ เป็นการนำจำนวนนับที่กำหนดมาเขยนในรูปผลคูณของตัวประกอบทีละ 2 จำนวน โดยเขียนไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งกลายเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
80 = 8 x 10
= 2 x 4 x 2 x 5
= 2 x 2 x 2 x 2 x 5
ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
หรือ 80 = x 5

วิธีที่ 2 วิธีตั้งหาร
                การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร ใช้วิธีหารสั้น ซึ่งมีขั้นตอนง่าย ๆดังนี้
1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน
2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ
3) ดำเนินการเช่นเดียวกับข้อ 2 จนกระทั่งผลหารสุดท้ายมีค่าเท่ากับ 1
4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน จะกลายเป็นการแยกตัวประกอบของจำนวนในข้อ 1
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
2 )80
2 )40
2 )20
2 )10
5 ) 5
1
ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
                       หรือ 80 = x 5

ตัวหารร่วม

ตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วม หมายถึง จำนวนที่สามารถหารจำนวนนับที่กำหนดให้ตั้งแต่ 2 จำนวนลงตัว
ขั้นตอนในการหาตัวหารร่วมจะต้องเริ่มจาก
1) หาตัวประกอบของจำนวนที่กำหนดให้
2) พิจารณาตัวว่าตัวประกอบในข้อ 1 ซ้ำกันหรือไม่
3) นำตัวประกอบที่ซ้ำกันเป็นตัวหารร่วม
ตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วม หมายถึง จำนวนที่สามารถหารจำนวนนับที่กำหนดให้ตั้งแต่ 2 จำนวนลงตัว
ขั้นตอนในการหาตัวหารร่วมจะต้องเริ่มจาก
1) หาตัวประกอบของจำนวนที่กำหนดให้
2) พิจารณาตัวว่าตัวประกอบใข้อ 1 ซ้ำกันหรือไม่
3) นำตัวประกอบที่ซ้ำกันเป็นตัวหารร่วม
ตัวอย่าง จงหาตัวหารร่วมของ 12 , 18
ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12
                         ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18
ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6
การหารร่วมมาก
ตัวหารร่วม หมายถึง จำนวนนับที่หารจำนวนตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปลงตัว ตัวหารร่วมอาจจะเรียกอีกอย่างหนึ่ง ตัวประกอบร่วม
จำนวนนับที่หาร     9      ได้ลงตัว คือ 1, 3, 9
จำนวนนับที่หาร     21    ได้ลงตัว คือ 1, 3, 7, 21
จำนวนนับที่หาร     39    ได้ลงตัว คือ 1, 3, 13, 39
จำนวนนับที่หาร     69    ได้ลงตัว คือ 1, 3, 23, 69
จะเห็นว่า ตัวหารร่วม ของจำนวนับ 9, 21, 39 และ 69 คือ 1, 3
ตัวหารร่วมมาก หมายถึง จำนวนนับที่มีค่ามากที่สุด ซึ่งหารทุกจำนวนในกลุ่มจำนวนที่กำหนดให้ได้ลงตัว ใช้อักษรย่อว่า ห.ร.ม
ดังนั้น ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของจำนวนนับ 9, 21, 39 และ 69 คือ 3