ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)
น้องๆ ทราบหรือไม่ว่า การหาตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปนั้น เป็นการหาตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น บทความนี้ได้รวบรวม ตัวอย่าง ค.ร.น. พร้อมทั้งแสดงวิธีทำอย่างละเอียด โดยมีวิธี การหา ค.ร.น. ทั้งหมด 3 วิธี ดังนี้
- การหา ค.ร.น. โดยการหาผลคูณร่วม
- การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ
- การหา ค.ร.น. โดยการหาร (หารสั้น)
ก่อนอื่นที่จะไปเรียนรู้วิธี การหา ค.ร.น. ทั้ง 3 แบบนั้น น้องๆมาทำความรู้จักกับตัวคูณร่วมน้อย(ค.ร.น.) กันก่อนนะคะ
ตัวคูณร่วมน้อย(ค.ร.น.) ของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป หมายถึง ตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น
ก่อนที่จะไปเรียนรู้วิธี การหา ค.ร.น. วิธีแรกนั้น น้องๆจำเป็นต้องศึกษาและแยกแยะความแตกต่างระหว่างการหาตัวประกอบและพหุคูณของจำนวนนับใดๆ
น้องๆ ลองท่องสูตรคูณแม่ 2 หน่อยค่ะ จะได้ ตัวเลขที่เรียงกันในรูปแบบด้านล่าง
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , …
สังเกตได้ว่าจำนวนซึ่งเป็นสูตรคูณของแม่ 2 แต่ละจำนวนนั้น คือ พหุคูณของ 2 และเขียนว่า “ พหุคูณของ 2 ” ดังนี้
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , … เป็นพหุคูณของ 2
สังเกตพหุคูณของ 2 ว่าจำนวนใดที่สามารถหารทุกจำนวนได้ลงตัว จะได้ว่า 2 เป็นจำนวนที่หารพหุคูณของ 2 ได้ลงตัวทุกจำนวน สรุปได้ว่า พหูคูณของ 2 คือ จำนวนที่มี 2 เป็นตัวประกอบ
ในทำนองเดียวกัน ถ้าท่องสูตรคูณแม่ 3 และ 4 สังเกตว่ามีลักษณะเดียวกันกับสูตรคูณของแม่ 2
3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 … เป็นพหุคูณของ 3
4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 … เป็นพหุคูณของ 4
เมื่อน้องๆรู้จักพหุคูณของจำนวนแต่ละจำนวนแล้ว ต่อไปมาทำความรู้จักพหุคูณร่วม และตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ โดยศึกษาจากโจทย์ต่อไปนี้
- ตัวประกอบของ 3 คือ 1 และ 3 พหุคูณของ 3 คือ 3, 6, 9, 12, …
- ตัวประกอบของ 4 คือ 1, 2 และ 4 พหุคูณของ 4 คือ 4, 8, 16, 20, …
- ตัวประกอบของ 5 คือ 1 และ 5 พหุคูณของ 5 คือ 5, 10, 15, 20, …
เมื่อศึกษาครบทั้ง 3 ข้อแล้ว สามารถสรุปความหมายของ ตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป ซึ่งหมายถึง จำนวนนับใด ๆ ที่หารด้วยจำนวนนับนั้นลงตัวทุกจำนวน
พหุคูณร่วมของจำนวนนับที่มีค่าน้อยที่สุด เรียกว่า ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด หรือ ค.ร.น. ต่อไปมาดูนิยามเกี่ยวกับ ค.ร.น. กันนะคะ
ลำดับถัดไปจะนำน้องๆ ไปศึกษาวิธี การหา ค.ร.น. ทั้ง 3 วิธี ถ้าพร้อมแล้วมาเริ่มวิธีแรกกันเลยนะคะ
วิธีที่ 1 การหา ค.ร.น. โดยการหาผลคูณร่วม
หลักการ
- หาตัวตั้งหรือพหุคูณของจำนวนนับที่ต้องการหา ค.ร.น.
- พิจารณาตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด
- ค.ร.น. คือ ตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด
เมื่อศึกษาหลักการหา ค.ร.น. โดยการหาผลคูณร่วม เรียบร้อยแล้ว น้องๆมาศึกษาตัวอย่างได้เลยคะ
ตัวอย่างที่ 1 จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 3
วิธีทำ พหุคูณของ 2 คือ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …
พหุคูณของ 3 คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
เรียก 6, 12, 18, … เป็นพหุคูณร่วมของ 2 และ 3
พหุคูณที่น้อยที่สุดของ 2 และ 3 เรียกว่า ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด ซึ่งเขียนย่อๆ ว่า ค.ร.น.
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ 6
ตัวอย่างที่ 2 จงหา ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4
วิธีทำ พหุคูณของ 2 คือ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
พหุคูณของ 3 คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, …
พหุคูณของ 4 คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …
เพราะฉะนั้น พหุคูณร่วมของ 2, 3 และ 4 คือ 12 และ 24
นั่นคือ 12 เป็นพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 2, 3 และ 4
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4 คือ 12
การหา ค.ร.น. โดยใช้วิธีที่ 1 ง่ายมากเลยใช่มั้ยค่ะ ต่อไปน้องๆ มาศึกษาวิธี การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ ได้เลยคะ
วิธีที่ 2 การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ
หลักการ
- แยกตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับที่ต้องการหา ค.ร.น.
- พิจารณาตัวประกอบเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของจำนวนนับที่จะหา ค.ร.น.
- พิจารณาตัวประกอบเฉพาะเดี่ยว ๆ
- นำตัวประกอบเฉพาะที่ได้จากข้อ 2. ทั้งหมด และข้อ 3. ทั้งหมด มาคูณกัน
- ค.ร.น. คือ ผลคูณในข้อ 4.
ตัวอย่างที่ 2
ค.ร.น. ของ 30, 20 และ 28 คือจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดที่นำไปหารด้วย 30, 20 และ 28 ลงตัว ไม่มีเศษเหลือจากการหาร
ขั้นตอนการหา ค.ร.น. ของ 30, 20 และ 28 โดยวิธีแยกตัวประกอบ
1) นำ 30, 20 และ 28 มาแยกตัวประกอบ โดยแยกจนตัวประกอบทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ
30 = 2 x 3 x 5
20 = 2 x 2 x 5
28 = 2 x 2 x 7
2) นำตัวประกอบร่วมออกมา กลุ่มละ 1 ตัว จากตัวประกอบร่วม 3 กลุ่มคือ 2, 2 และ 5
2 เป็นตัวประกอบร่วมของ 30, 20 และ 28
2 เป็นตัวประกอบร่วมของ 20 และ 28
5 เป็นตัวประกอบร่วมของ 30 และ 20
ข้อสังเกต 2 (สีแดง) และ 2 (สีเขียว) แม้จะเป็นเลข 2 เหมือนกันแต่อยู่คนละกลุ่ม เพราะ
2 (สีแดง) เป็นตัวประกอบร่วมของทั้งสามจำนวนคือ 30, 20 และ 28 แต่
2 (สีเขียว) เป็นตัวประกอบร่วมของ 20 และ 28 เพียงสองจำนวนเท่านั้น
3) นำตัวประกอบอื่นออกมา
ตัวประกอบอื่นคือตัวประกอบของ 30, 20 และ 28 ที่ไม่ใช่ตัวประกอบร่วม
ตัวประกอบอื่นของ 30 คือ 3
ตัวประกอบอื่นของ 28 คือ 7
4) ค.ร.น. = ผลคูณของตัวประกอบร่วมและตัวประกอบอื่น
ค.ร.น. = 2 x 2 x 5 x 3 x 7
ค.ร.น. = 420
ข้อควรระวัง
การหา ค.ร.น. โดยวิธีตั้งหาร ต้องใช้ตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะ จึงจะได้คำตอบที่ถูกต้องทุกครั้ง
ถ้าใช้ตัวหารที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ (ตัวหารเป็นจำนวนประกอบ) อาจทำให้ได้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง
ตัวอย่างนี้ แสดงการหา ค.ร.น. ของ 30, 20 และ 28 โดยเลือก 10 เป็นตัวหาร
10 เป็นจำนวนประกอบ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
ค.ร.น. ที่คำนวณได้คือ 10 x 2 x 3 x 14 = 840
แม้ว่าวิธีคำนวณจะถูกต้อง แต่ผลสุดท้ายคำตอบผิด
ค.ร.น. ของ 30, 20 และ 28 คือ 420 ไม่ใช่ 840
สาเหตุของความผิดนี้ เกิดจากการใช้จำนวนประกอบเป็นตัวหาร
ตัวหารร่วมที่มากที่สุดของจำนวนใดๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป หมายถึง จำนวนที่มีค่ามากที่สุดที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดเหล่านั้นได้ลงตัว
1. โดยการแยกตัวประกอบ มีิวิธีการดังนี้
(1) แยกตัวประกอบของจำนวนทุกจำนวนที่ต้องการหาร ห.ร.ม.
(2) เลือกตัวประกอบที่ซ้ำกันของทุกจำนวนมาคูณกัน
(3) ห.ร.ม. คือ ผลคูณที่ได้
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 56 84 และ 140
วิธีทำ 56 = 2 x 2 x 2 x 7
84 = 2 x 2 x 3 x 7
140 = 2 x 2 x 5 x 7
เลือกตัวที่ซ้ำกัน ที่อยู่ทั้ง 56 84และ 140 ตัวทีซ้ำกันเอามาซ้ำละ 1 ตัว
คือ มีเลข 2 เลข 2 และ เลข 7
ดังนั้น ห.ร.ม. = 2 x 2 x 7 = 28
2. การหารสั้น มีวิธีการดังนี้
1) นำจำนวนทั้งหมดที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาเขียนเรียงกัน
2) หาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดได้ลงตัวมาหารไปเรื่อยๆ จนกว่าไม่สามารถหาได้
3) นำตัวหารทุกตัวที่ใช้มาคูณกัน เป็นค่าของ ห.ร.ม.
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 56 84 และ 140
วิธีทำ 2) 56 84 140
2) 28 42 70
7) 14 21 35
2 3 5
ห.ร.ม. คือ 2 x 2 x 7 = 28
1. ใช้ทอนเศษส่วนใ้ห้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
2. ใช้คำนวณการแบ่งสิ่งของที่มีจำนวนไม่เท่ากันออกเป็นส่วนๆ ที่เท่าักันโดยไม่ปะปนกันและให้เป็นจำนวนที่มากที่สุด
