ตัวประกอบและตัวประกอบจำนวนเฉพาะ

ตัวประกอบและตัวประกอบจำนวนเฉพาะ
     จำนวนใดก็ตามที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง เรียกจำนวนนั้นว่า จำนวนเฉพาะ

ตัวประกอบ คือ อะไร

ก่อนอื่น อยากให้ รู้จักความหมายของตัวประกอบกันก่อน โดยตัวประกอบของจำนวนนับใด คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นได้ลงตัว เพื่อความเข้าใจที่มากขึ้น เพื่อน ๆ มาดูตัวอย่างด้านล่างนี้กันดีกว่า

หากเพื่อน ๆ ต้องการจัดแอปเปิ้ล 10 ผล ออกเป็นกอง กองละเท่า ๆ กัน จะได้ทั้งหมด 4 วิธี ดังนี้

วิธีที่ 1 จัดกองละ 1 ผล ได้ 10 กอง โดยจะหาจำนวนกองได้จาก 10 ÷ 1

วิธีที่ 2 จัดกองละ 2 ผล ได้ 5 กอง โดยจะหาจำนวนกองได้จาก 10 ÷ 2

วิธีที่ 3 จัดกองละ 5 ผล ได้ 2 กอง โดยจะหาจำนวนกองได้จาก 10 ÷ 5

วิธีที่ 4 จัดกองละ 10 ผล ได้ 1 กอง โดยจะหาจำนวนกองได้จาก 10 ÷ 10

จำนวนเฉพาะคือ อะไร

“จำนวน” เป็นความรู้ที่ถูกพัฒนาขึ้นมาพร้อม ๆ กับอารยธรรมของมนุษย์ อาจเริ่มมาตั้งแต่สมัยโบราณที่มนุษย์เราเริ่มมีการคาดคะเนปริมาณของสิ่งต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็นอาหาร หรือปริมาณของทรัพยากรต่าง ๆ แล้วสร้างสัญลักษณ์เพื่อสื่อความหมายแทนปริมาณของสิ่งต่าง ๆ และพัฒนามาจนเป็นตัวเลข ซึ่งมนุษย์ก็ยังไม่หยุดพัฒนาเพียงเท่านั้น แต่ยังคงมีการพัฒนาต่อเนื่องมาจนแยกจำนวนออกเป็นประเภทต่าง ๆ เช่น จำนวนคู่ จำนวนคี่ แต่อาจมีจำนวนชนิดหนึ่งที่มีความจำเพาะลงไปอีก นั่นคือ จำนวนเฉพาะ หรือ Prime Number

ตัวอย่างที่ 1  จงหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับ 1 – 10

ตัวประกอบทั้งหมดของ  1   คือ   1

ตัวประกอบทั้งหมดของ  2   คือ   1, 2

ตัวประกอบทั้งหมดของ  3   คือ   1, 3

ตัวประกอบทั้งหมดของ  4   คือ   1, 2, 4

ตัวประกอบทั้งหมดของ  5   คือ   1, 5

ตัวประกอบทั้งหมดของ  6   คือ   1, 2, 3, 6

ตัวประกอบทั้งหมดของ  7   คือ   1, 7

ตัวประกอบทั้งหมดของ  8   คือ   1, 2, 4, 8

ตัวประกอบทั้งหมดของ  9   คือ   1, 3, 9

ตัวประกอบทั้งหมดของ  10 คือ   1, 2, 5, 10

ดังนั้นจำนวนนับที่มีค่าอยู่ระหว่าง  1 – 10  ที่เป็นจำนวนเฉพาะได้แก่  2, 3, 5 และ   7

วิธีตรวจสอบว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

นำจำนวนที่ต้องการตรวจสอบมาแยกตัวประกอบ
ถ้าจำนวนนั้นสามารถแยกเป็นตัวประกอบ 2 ตัวที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง จำนวนนั้นไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

1 = 1 x 1	มีตัวประกอบเพียงตัวเดียวคือ 1 1 จึง ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ และไม่ใช่จำนวนประกอบ
2 = 1 x 2	มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 2 ซึ่งเป็นตัวมันเอง 2 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ
3 = 1 x 3	มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 3 ซึ่งเป็นตัวมันเอง 3 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ
4 = 2 x 2	สามารถเขียน 4 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 4 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 4 มีตัวประกอบทั้งหมด 3 ตัวคือ 1, 2 และ 4 ดังนั้น 4 เป็นจำนวนประกอบ เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
5 = 1 x 5	มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 5 ซึ่งเป็นตัวมันเอง 5 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ
6 = 2 x 3	สามารถเขียน 6 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 6 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 6 มีตัวประกอบทั้งหมด 4 ตัวคือ 1, 2, 3 และ 6 ดังนั้น 6 เป็นจำนวนประกอบ เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
7 = 1 x 7	มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 7 ซึ่งเป็นตัวมันเอง 7 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ
8 = 2 x 4	สามารถเขียน 8 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 8 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 8 มีตัวประกอบทั้งหมด 4 ตัวคือ 1, 2, 4 และ 8 ดังนั้น 8 เป็นจำนวนประกอบ เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
9 = 3 x 3	สามารถเขียน 9 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 9 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 9 มีตัวประกอบทั้งหมด 3 ตัวคือ 1, 3 และ 9 ดังนั้น 9 เป็นจำนวนประกอบ เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
10 = 2 x 5	สามารถเขียน 10 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 10 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 10 มีตัวประกอบทั้งหมด 4 ตัวคือ 1, 2, 5 และ 10 ดังนั้น 10 เป็นจำนวนประกอบ เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
11 = 1 x 11	มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 11 ซึ่งเป็นตัวมันเอง 11 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ

ใหัสังเกตว่า 4, 6, 8, 9 และ 10 ทั้ง 5 จำนวนนี้เป็นจำนวนประกอบ
ซึ่งมีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบอย่างน้อย 1 ตัว
4 = 2 x 2  2 เป็นจำนวนเฉพาะ
6 = 2 x 3  2 และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
8 = 2 x 2 x 2  2 เป็นจำนวนเฉพาะ
9 = 3 x 3  3 เป็นจำนวนเฉพาะ
10 = 2 x 5  2 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะ