ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.)
บทนิยาม
กําหนดให้ a, b เป็นจํานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ (อย่างน้อยที่สุดจํานวนใดจํานวนหนึ่งต้องไม่เป็นศูนย์) แล้ว จะกล่าวว่า + d∈I เป็นตัวหารร่วมมาก (Greatest Common Divisor : GCD) ของจํานวนเต็ม a,b ก็ ต่อเมื่อ d เป็นจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่ทําให้ d|a และ d|b
หมายเหตุ
1. ห.ร.ม. เป็นจํานวนเต็มบวกและไม่เป็นศูนย์
2. ใช้สัญลักษณ์ d = (a,b) เพื่อแสดงว่า d เป็น ห.ร.ม.ของ a และ b
3. (a,b) = (-a,b) = (a,-b) = (-a,-b) นั่นคือไม่ว่าเราจะหา ห.ร.ม.ของจํานวน
เต็มบวกหรือลบย่อมมีค่าเท่ากัน
4. ถ้า a ไม่เเป็นศูนย์แล้ว (a,0) = |a| นั่นคือ ห.ร.ม.ของจํานวนเต็มใด ๆ กับศูนย์ก็คือตัวมัน เองที่เป็นบวกนั่นเอง
ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)
วิธีทำอย่างละเอียด โดยมีวิธี การหา ค.ร.น. ทั้งหมด 3 วิธี ดังนี้
- การหา ค.ร.น. โดยการหาผลคูณร่วม
- การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ
- การหา ค.ร.น. โดยการหาร (หารสั้น)
ก่อนอื่นที่จะไปเรียนรู้วิธี การหา ค.ร.น. ทั้ง 3 แบบนั้น น้องๆมาทำความรู้จักกับตัวคูณร่วมน้อย(ค.ร.น.) กันก่อนนะคะ
ตัวคูณร่วมน้อย(ค.ร.น.) ของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป หมายถึง ตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น
ให้พิจารณาการหาตัวคูณร่วมน้อย(ค.ร.น.)โดยวิธีหาตัวคูณร่วม
ก. จำนวนนับที่ 2 หารลงตัวหรือตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 ,…
จำนวนนับที่ 4 หารลงตัวหรือตัวคูณของ 2 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 ,…
ตัวคูณร่วมของ 2 และ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 ,…
ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย ใช้อักษรย่อว่า ค.ร.น.
ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 2 และ 4 คือ 4
ข. จำนวนนับที่ 3 หารลงตัวหรือตัวคูณของ 3 คือ 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 ,…
จำนวนนับที่ 4 หารลงตัวหรือตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 ,…
จำนวนนับที่ 6 หารลงตัวหรือตัวคูณของ 6 คือ 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 ,…
ตัวคูณร่วมของ 3 , 4 และ 6 คือ 12 , 24 , 36 ,…
ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย ใช้อักษรย่อว่า ค.ร.น.
ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 3 , 4 และ 6 คือ 12
บทสรุปวิธีการหาร
ให้ m และ n เป็นนจํานวนเต็ม n ≠ 0 จะมีจํานวนเต็ม q และ r ชุดเดียว ซึ่ง
m = nq + r โดย o ≤ r < n เรียก q ว่าผลหาร และ เรียก r ว่าเศษ
| • การหารลงตัว | |||||||
| บทนิยาม |
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 |
||||||
| จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a | |||||||
| ตัวอย่างเช่น | 3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n | ||||||
| -5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n | |||||||
| 6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n | |||||||
|
สมบัติการหารลงตัว |
|||||||
| ทฤษฎีบทที่ 1 | กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c |
||||||
| ทฤษฎีบทที่ 2 | กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b |
||||||
| ทฤษฎีบทที่ 3 | กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ |
||||||
|
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว |
|||||||
|
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers) |
|||||||
| บทนิยาม | จำนวนเต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p} | ||||||
|
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers) |
|||||||
| บทนิยาม | จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ | ||||||
| นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn | |||||||
| ตัวอย่างเช่น | |||||||
| จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ |
|||||||
| • ขั้นตอนวิธีการหาร | |||||||
| ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ a = bq + r เมื่อ 0 r |b| นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r |
|||||||
| ตัวอย่างที่ 1 | กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r | ||||||
| เขียนให้อยู่ในรูป | a = bq + r | ||||||
| 48 = 7 × 6 +6 | |||||||
|
q = 6 และ r = 6 | ||||||
| • ตัวหารร่วม | |||||||
| ตัวหารร่วม | |||||||
|
|||||||
| ตัวหารร่วมมาก | |||||||
|
|||||||
| ตัวอย่างเช่น | จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 | ||||||
| วิธีทำ | ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36 | ||||||
| ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48 | |||||||
|
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12 | ||||||
|
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12 | ||||||
| นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12 | |||||||
| การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด | |||||||
| จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ | ||||||
| บทนิยาม |
|
|||||
| • ตัวคูณร่วมน้อย | ||||||
| ตัวคูณร่วมน้อย | ||||||
|
||||||
| ตัวอย่างเช่น | จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24 | |||||
| วิธีทำ | พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, … | |||||
|
พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, … | |||||
|
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, … | |||||
| พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72 | ||||||
| นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72 | ||||||
