ติวเลขความน่าจะเป็น ออนไลน์ ม.6

ติวเลขความน่าจะเป็น บทที่ 2 ความน่าจะเป็น

จุดประสงค์การเรียนรู้

1.            อธิบายความหมายของการทดลองสุ่ม เหตุการณ์ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จากการทดลองสุ่มที่ผลแต่ละตัวมีโอกาสที่จะเกิดขึ้นเท่า ๆ กันได้

2.         ใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์ได้

3.          หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆที่กำหนดให้ได้

2.1 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

กฎข้อที่ 1

 ถ้างานแรกมีวิธีทำได้  วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกมีวิธีที่จะทำงานอย่าง 2 ได้ วิธี และในแต่ละวิธีที่ทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่ 3 ได้วิธี จำนวนทั้งหมดที่จะเลือกวิธีทำงาน k อย่าง เท่ากับ วิธี

ตัวอย่างที่ 1 การแต่งกายของดำรงหน่งชุดประกอบด้วย เสื้อ กางเกง และรองเท้าถ้าดำรง มีเสื้อ 5 ตัว กางเกง 3 ตัว และรองเท้า 2 คู่ ดำรงจะเลือกแต่งกายได้ต่างๆกิ่ชุด

วิธีทำ การแต่งกายของดำรงประกอบด้วย 3 ขั้นตอน คือ

ขั้นตอนที่ 1 เลือกสวมกางเกงซึ่งเลือกได้ 3 วิธี และในแต่ละวิธีทำในขั้นตอนที่ 1 ยังสามารถเลือกทำงาน ในขั้นตอนที่ 2 คือ สวมเสื้อได้อีก 5 วิธีและในแต่ละวิธีที่เลือกทำงาน

ในขั้นตอนที่ 1 และ 2 ยังสามารถเลือกทำงาน ในขั้นตอนที่ 3 คือ สวมรองเท้าได้อีก 2 วิธี

ดั้งนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำกิจกรรมนี้เสร็จสิ้น    3×5×2 =30 วิธี

นั่นคือ ดำรงสามารถเลือกแต่งกายได้ 30 ชุด

กฎข้อที่ 2

ถ้ากิจกรรมอย่างหนึ่งสามารถทำกิจกรรมเสร็จสิ้นได้ k แบบโดยที่แต่ละแบบทำเสร็จสิ้นได้  วิธี ดั้งนั้นจำนวนทั้งหมดที่ทำกิจกรรมนี้เสร็จสิ้นได้ทั้งสิ้น วิธี

2.2 ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์ คือ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับเท่าใด

หลักการหาความน่าจะเป็น

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน E เป็นสับเซตของ S ให้ P(E) เป็นสัญลักษณ์แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) ได้ดังนี้

ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก หยิบลูกแก้วจากกล่อง 2 ลูก

จงหาเหตุการณ์ที่จะได้ลูกแก้วสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก

เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกแก้วแต่ละลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา ดังนั้นเราให้ ข1 , ข2 , ข3 เป็นลูกแก้วสีขาว 3 ลูก และ ด1 , ด2 เป็นลูกแก้วสีแดง 2 ลูก แซมเปิลสเปซ S = { ข1ข2 ,ข1ข3 , ข1ด1 ,ข1ด2, ข2ข3 , ข2ด1 , ข2ด2 , ข3ด1 , ข3ด2 , ด1ด2 } ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกแก้วสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก เหตุการณ์ A = { ข1ด1 , ข1ด2 , ข2ด1 , ข2ด2 , ข3ด1, ข3ด2 }

ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่ A เรียงเป็นตัวแรก จากการเรียงตัวอักษร 2 ตัวจากอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C

S = { AB , BA , AC , CA , BC , CB }

E = { AB , AC }

P(E) =

นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ A เรียงเป็นตัวแรก =

2.2.1 การทดลองสุ่ม

    การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่า ผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้างแต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้น

เช่น ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง แต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าอาจจะเป็น 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 เรียกการทอดลูกเต๋าว่า “การทดลองสุ่ม” เรียกเซตของแต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดว่า “แซมเปิลสเปซ”

    แซมเปิลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างที่ 1 จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูก จงหาแซมเปิลสเปซของแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น

วิธีทำ เนื่องจากโจทย์สนใจแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น ดังนั้นเราจะต้องเขียนแต้มของลูกเต๋าที่มีโอกาสที่จะหงายขึ้นทั้งหมด

แซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่ม คือ

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}