ติวเลขลำดับและอนุกรม

                   หรือ      a_n+1         =            a_n + d

ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิต

                        1.    ลำดับ 1, 3, 5, …, 99         เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 2

                        2.    ลำดับ 6, 3, 0, …, -27        เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ -3

                        3.    ลำดับ 5, 5, 5, …, 5           เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0

                        4.    ลำดับ 0, 0, 0, …, 0           เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0

จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ถ้า d = 0 จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากัน
และเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับคงตัว” เช่น ข้อ 3 และข้อ 4

การหาพจน์ต่าง ๆ ของลำดับเลขคณิต

กำหนดลำดับเลขคณิต a₁ , a₂ , a₃ , … ให้ a₁ เป็นพจน์แรกของลำดับ

และ d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่นๆ ของลำดับเลขคณิตในรูปของ a₁ และ d ดังนี้

a₁        =     a₁

 a₂      =      a₁ + d

  a₃      =      a₁ + 2d

  a₄      =      a₁ + 3d

  . 

  .

  .

    a_n      =     a₁ + ( n – 1 )d

สรุป        พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ  

                             a_n = a₁ + ( n – 1 )d

                       มื่อ a_n           คือ   พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิ
a₁            คือ   พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต
n            คือ   ตำแหน่งของพจน์ที่ n
d            คือ   ผลต่างร่วม (พจน์ที่ n+1 ลบด้วย พจน์ที่ n)

1.1.2 ลำดับเรขาคณิต

ถ้า a₁, a₂, a₃, …, a_n, a_n+1 เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้

เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ” (Common ratio) เขียนแทนด้วย r

พิจารณา          ลำดับ     1, 2, 4, 8, …

                ใช้ แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็น สิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่อง ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก

 

ลำดับ             1, 2, 4, 8, …

ลำดับนี้เกิดจาก

1 2  = 2

2 2 = 4

4 2 = 8

พิจารณา ลำดับ 1, 2, 4, 8, …

a₂÷ a₁       =       2÷ 1      =          2

a₃÷ a₂        =     4÷ 2       =          2

a₄÷ a₃        =       8÷ 4      =        2

จะเห็นว่า อัตราส่วนของพจน์หลัง หารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน มีค่าคงที่ เท่ากับ 2

                เรียกค่าคงที่ว่า อัตราส่วนร่วม และเรียกลำดับนี้ว่า ลำดับเรขาคณิต       

พจน์ทั่วไป หรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต คือ

                        เมื่อ a_n คือ พจน์ที่ n และ a₁ คือ พจน์แรก

r คือ อัตราส่วนร่วม เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 หารด้วยพจน์ที่ n

กำหนด a₁, a₁r, a₁r², …, a₁r ^n-1     เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้    a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁r ^n-1    เป็นอนุกรมเรขาคณิต

ซึ่งมี   a₁ เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

ตัวอย่างของอนุกรมเรขาคณิต

                 1.            2 + 4 + 8 + 16 + …    เป็น อนุกรมเรขาคณิต

                                เพราะ 2, 4, 8, 16, …         เป็น ลำดับเรขาคณิต

                                และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2

                 2.            81 + 27 + 9 + 3 + …  เป็น อนุกรมเรขาคณิต

                                เพราะ 81, 27, 9, 3, …       เป็น ลำดับเรขาคณิต

                                และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ

                 3.           3 + 3 + 3 + 3 + …            เป็น อนุกรมเรขาคณิต

                                เพราะ 3, 3, 3, 3, …           เป็น ลำดับเรขาคณิต

                                และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 1

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

ให้    S_n    แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

       ซึ่งมี      a₁     เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม

S_n   =  a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁r         ^n-2+ a₁r   ^n-1 — (1)

                     สมการ (1) คูณ r จะได้

rS_n = a₁r + a₁r²+ a₁r³ + … + a₁r      ^n-2+ a₁r   ^n-1 + a₁r  ⁿ — (2)

                    สมการ (1) – (2) จะได้

          S_n – rS_n = a₁-a₁rⁿ

 (1 – r)S_n = a₁(1-rⁿ)

สรุป ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

                       เมื่อ      S_n แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต                              a₁ แทนพจน์ที่ 1

                              a_n แทนพจน์ที่ n

                              r แทนอัตราส่วนร่วม พจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n