อนุกรม
1.3 อนุกรมเลขคณิต
เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต
จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์
จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต
1. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 เป็น อนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 1, 3, 5, …, 99 เป็น ลำดับเลขคณิต
และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 2
2. 25 + 20 + 15 + 10 + … เป็น อนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 25, 20, 15, 10, … เป็น ลำดับเลขคณิต
และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5
3. 7 + 14 + 21 + 28 + … เป็น อนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 7, 14, 21, 28, … เป็น ลำดับเลขคณิต
และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 7
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ที่มี a1 เป็นพจน์แรก และ d เป็นผลต่างร่วม จะได้
Sn = a1 + (a1 + d) + … + [a1+(n – 2)d] + [a1+(n –1)d] —–(1)
หรือ Sn= [a1 + (n –1)d] + [a1 + (n – 2)d] + … + (a1 + d) + a1 —–(2)
สมการ (1)+(2) จะได้
2Sn = [2a1 + (n –1)d] + [2a1 + (n –1)d] + … + [2a1 + (n –1)d] (n พจน์ )
2Sn = n[2a1 + (n –1)d]
1.4 อนุกรมเรขาคณิต
กำหนด a1, a1r, a1r2, …, a1r n-1 เป็นลำดับเรขาคณิต
จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-1 เป็นอนุกรมเรขาคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต
ตัวอย่างของอนุกรมเรขาคณิต
1. 2 + 4 + 8 + 16 + … เป็น อนุกรมเรขาคณิต
เพราะ 2, 4, 8, 16, … เป็น ลำดับเรขาคณิต
และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2
2. 81 + 27 + 9 + 3 + … เป็น อนุกรมเรขาคณิต
เพราะ 81, 27, 9, 3, … เป็น ลำดับเรขาคณิต
และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ
3. 3 + 3 + 3 + 3 + … เป็น อนุกรมเรขาคณิต
เพราะ 3, 3, 3, 3, … เป็น ลำดับเรขาคณิต
และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 1
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
ให้ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม
Sn = a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-2+ a1r n-1 — (1)
สมการ (1) คูณ r จะได้
rSn = a1r + a1r2+ a1r3 + … + a1r n-2+ a1r n-1 + a1r n — (2)
สมการ (1) – (2) จะได้
Sn – rSn = a1-a1rn
(1 – r)Sn = a1(1-rn)
สรุป ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
เมื่อ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต a1 แทนพจน์ที่ 1
an แทนพจน์ที่ n
r แทนอัตราส่วนร่วม พจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n
