ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

1. การหารลงตัว
2. ขั้นตอนวิธีการหาร
3. ตัวหารร่วมมาก
4. ตัวคูณร่วมน้อย

นิยาม : ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็ม
โดยที่ n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวน q ที่ทำให้ m = nq
เรียก n ว่าเป็น ตัวหาร ของ m และ
เรียก m ว่าเป็นพหุคูณ ของ n

จากนิยามดังกล่าว มีการใช้สัญลักษณ์ ดังนี้

n|m แทน n หาร m ลงตัว หรือ m หารด้วย n ลงตัว
n|/m แทน n หาร m ไม่ลงตัว หรือ m หารด้วย n ไม่ลงตัว

การหารเหลือเศษ

a/b= c เศษ d ⟶ a=b.c+d

โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ d < |b|

คำแนะนำเพิ่มเติม :

• ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d แล้ว (m.a)/b เหลือเศษเท่ากับเศษเหลือของ (m.d)/b
• ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d แล้ว a^m/b เหลือเศษเท่ากับเศษเหลือของ d^m/b

จำนวนเฉพาะ

คือ จำนวนเต็มบวกที่มีแต่ 1, -1, ตัวเอง, จำนวนตรงข้ามตัวมันเอง เท่านั้นที่หารลงตัว (1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ)

จำนวนประกอบ

คือ จำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ 1 และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ โดยสามารถเขียนจำนวนประกอบให้อยู่ในรูปจำนวนเฉพาะคูณกันได้

หารร่วมมาก

บทนิยาม : กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ (อย่างน้อยที่สุดจำนวนใดจำนวนหนึ่งต้องไม่เป็นศูนย์)
แล้ว จะกล่าวว่า d ϵ I+ เป็นตัวหารร่วมมาก (Greatest Common Divisor : GCD) ของจำนวนเต็ม a,b ก็ต่อเมื่อ d เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้ d|a และ d|b

ตัวคูณร่วมน้อยและตัวหารร่วมมาก

ความหมายของ ตัวคูณร่วมน้อย ค.ร.น.

ตัวคูณร่วมน้อย หมายถึง จำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งจํานวนที่กําหนดให้ทั้งหมดสามารถหารจำนวนนั้นได้ลงตัว

ตัวอย่าง

จงหาตัวคูณร่วมน้อยของ 6 และ 9 ช่วงจำนวนที่ไม่เกิน 50

6 เป็นตัวประกอบของ 6, 12, (18), 24, 30, (36), 42, 48

9 เป็นตัวประกอบของ 9, (18) , 27, (36) , 45

ตัวคูณร่วมของ 6 และ 9 คือ 18 และ 36

ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) คือ 18 (มีค่าน้อยสุด)

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) คือ ตัวหารร่วม (หรือตัวประกอบร่วม) ที่มีค่ามากที่สุด ที่นำไปหารจำนวนนับชุดใด(ตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป) ได้ลงตัว