สมบัติสำคัญของจำนวนเต็ม

เซตของจำนวนเต็ม (Z) กับการบวก(+)และการคูณ(·) เป็นริง (ring) นั่นคือ มีสมบัติ การปิด การเปลี่ยนหมู่ การมีเอกลักษณ์ การมีตัวผกผันและการแจกแจง ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง การใช้สมบัติดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 1.1.1 ถ้า a ∈ Z จงพิสูจน์ว่า 0 · a = 0
ทฤษฎีจำนวน
วิธีทำ 0 · a = (0 + 0) · a (การมีเอกลักษณ์การบวก)
= 0 · a + 0 · a (การแจกแจง)
−(0 · a) + 0 · a = −(0 · a) + (0 · a + 0 · a) (การบวกด้วยจำนวนเดียวกัน)
−(0 · a) + 0 · a = (−(0 · a) + 0 · a) + 0 · a (การเปลี่ยนหมู่การบวก)
0 = 0 + 0 · a (การมีตัวผกผันการบวก)
0 = 0 · a (การมีเอกลักษณ์การบวก)

เพื่อความสะดวกต่อไปเราจะเขียน ab แทน a · b
ตัวอย่างที่ 1.1.2 ถ้า a ∈ Z จงพิสูจน์ว่า −a = (−1)a
วิธีทำ เนื่องจากตัวผกผันของ a (คือ −a) ซึ่งนำมาบวกกับ a แล้วได้เอกลักษณ์การบวก
(คือ 0) ดังนั้นเราพิจาณา
(−1)a + a = (−1)a + 1a (การมีเอกลักษณ์การคูณ)
= (−1 + 1)a (การแจกแจง)
= 0a (การมีตัวผกผันการบวก)
= 0 (ตัวอย่างที่ 1.1.1)
นั่นคือ −a = (−1)a
เนื่องจาก Z เป็นเซตอันดับ ดังนั้น สำหรับ a, b ∈ Z จะกำหนดให้a > b หมายถึง
a − b เป็นจำนวนเต็มบวก และถ้า a < b หมายถึง b > a รวมทั้ง a ≥ b และ a ≤ b
จะกำหนดความหมายได้ทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 1.1.3 จงพิสูจน์ว่า ถ้า a, b ∈ Z และ a > 0, b < 0 แล้ว ab < 0
วิธีทำ ให้ a > 0, b < 0 เนื่องจาก b < 0 ดังนั้น 0 − b = −b เป็นจำนวนเต็มบวก
และเนื่องจาก a > 0 และจากสมบัติปิดของการคูณ ดังนั้น a(−b) เป็นจำนวนเต็มบวก
แต่เนื่องจาก a(−b) = −(ab) ดังนั้น −(ab) เป็นจำนวนเต็มบวก
จะได้ว่า 0 − (ab) = −(ab) เป็นจำนวนเต็มบวก
นั่นคือ 0 > ab
นอกจากสมบัติที่กล่าวมาแล้วข้างต้น จำนวนเต็มยังมีสมบัติอื่นที่สำคัญ (important
properties of integers) พอสรุปได้ดังต่อไปนี้

สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจำนวนเต็ม

1. สมบัติปิด (Closure Property)

1.1 สมบัติปิดของการบวก ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a+b เป็นจำนวนเต็ม

เช่น 5 จำนวนเต็ม

-10 เป็นจำนวนเต็ม

5+(-10) = -5 เป็นจำนวนเต็ม

1.2 สมบัติปิดการคูณ ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a×b เป็นจำนวนเต็ม

เช่น 5 จำนวนเต็ม

-10 เป็นจำนวนเต็ม
5× (-10) = -50 เป็นจำนวนเต็ม

2. สมบัติการสลับที่ (Commutative Property)

2.1 สมบัติการสลับที่การบวก ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a + b = b + a

เช่น 12 + (-5) = 7 (-5) + 12 = 7

ดังนั้น 12 + (-5) = (-5)+12 = 7

2.2 สมบัติการสลับที่การคูณ ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a × b = b × a

เช่น 8 × (-3) = -24 (-3) × 8 = -24

ดังนั้น 8 × (-3) = (-3) × 8 = -24

3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ (Associative Property)

3.1 สมบัติการเปลี่ยนหมู่การบวก ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว (a + b) + c = a + (b + c)

นั่นคือ การบวกอาจหาผลลัพธ์จากกลุ่มใดก่อนก็ได้

เช่น [5 + (-9)] + 8 = (-4)+8 = 4

5 + [(-9) + 8] = 5+(-1) = 4

ดังนั้น [ [[[5 + (-9)] + 8 = 5+[(-9)+8]

3.2 สมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว (a × b) × c = a × (b × c)

นั่นคือ การคูณอาจหาผลลัพธ์จากกลุ่มใดก่อนก็ได้

เช่น [5 × (-3)] × (-4) = (-15) × (-4) = 60

5 × [(-3) × (-4)] = 5 × 12 = 60

ดังนั้น [ [5 × (-3)] × (-4) = 5 × [(-3) × (-4)]

4. สมบัติการแจกแจง

สมบัติการแจกแจง เป็นสมบัติที่แสดงความเกี่ยวข้องระหว่างการบวกและการคูณที่กล่าวว่า ถ้า a,b และ c

แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว
a×(b+c) = (a× b) + (a × c)

และ (b+c) × a = (b × a ) + (c× a)

เช่น (-7) × {(-5) + 3} = {(-7) × (-5)} + {(-7) ×3} = 14

และ {(-3) + 6} × (-5) = {(-3) × (-5)} + {6 × (-5)} = -15

5. สมบัติของหนึ่งและศูนย์

5.1 สมบัติของหนึ่ง การคูณจำนวนใดๆ ด้วยหนึ่งจะได้ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนนั้น เช่น 35 × 1 = 35

(-18) × 1 = -1

นั้นคือ ถ้า a แทนจำนวนใดๆ แล้ว a × 1 = 1 × a = a

การหารจำนวนใดๆ ด้วยหนึ่งจะได้ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนนั้น เช่น 21/1 = 27

-50/1 = -50
นั้นคือ ถ้า a แทนจำนวนใดๆ แล้ว a/1 = a

5.2 สมบัติของศูนย์ การบวกจำนวนใดๆ ด้วยศูนย์จะได้ผลบวกเท่ากับจำนวนนั้น เช่น 5 + 0 = 0

(-56) + 0 = 0
นั้นคือ ถ้า a แทนจำนวนใดๆ แล้ว a +0 = 0 + a = a

การคูณจำนวนใดๆ ด้วนศูนย์จะได้ผลลัพธ์เท่ากับศูนย์ เช่น 17 × 0 = 0

นั้นคือ ถ้า a แทนจำนวนใดๆ แล้ว a × 0 = 0 × a = 0