ทฤษฎีบททวินาม (Binomial theorem) -เลขออนไลน์

ทฤษฎีบททวินาม
  ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสูตรของการกระจาย    (  x  +  y  )²      เมื่อ  x, y  เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ  n  เป็นจำนวนเต็มบวก
       พิจารณาการกระจายต่อไปนี้
            ( x + y )¹      =   x + y
            (x + y )²       =   x² + 2xy + y²
            ( x + y )³      =   x³ +3x² y + 3xy²  y³
            ( x + y )⁴      =   x⁴ + 4x³ y + 6x² y²  + 4xy³  + y⁴ 
            (x  + y )⁵      =   x⁵ + 5x⁴ y + 10x³ y² + 10x² y³ +5xy⁴ + y⁵
พิจารณา  (x + y )ⁿ   =   (x + y)(x + y)… ( x  +  y )    =    n  วงเล็บ
ในการกระจายเลือก x  และ y อย่างใดอย่างหนึ่งของแต่ละวงเล็บนำมาคูณกันแล้วนำผลคูณ
ที่ได้มาบวกกัน เช่นเลือก  y  จาก 2 วงเล็บ และเลือก  x  จาก  n – 2  วงเล็บที่เหลือจะได้พจน์   x^{n – 2}  y²   ดังนั้น แต่ละพจน์ของการกระจาย  ( x + y  )ⁿ    อยู่ในรูป x^{n – r}   y^r   เมื่อ  r     {0,1,2,…, n}
เนื่องจาก   x^{n – r}  y^r    ประกอบด้วย   x   จำนวน  n – r  ตัว  และ  y  จำนวน  r  ตัว ดังนั้น  พจน์  x^{n – r}  y^r    มีทั้งหมด

พจน์
นั่นคือ  สัมประสิทธิ์ของ  x^{n – r}  y^r    เท่ากับ   
การกระจาย   ( x + y  )ⁿ    สรุปเป็นทฤษฏีบทได้ดังนี้

 

เมื่อพิจารณาการกระจายทวินาม (a+b)ⁿ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จะได้

(a+b)⁰ = 1

(a+b)¹ = a+b

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b²

(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

 (a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

(a+b)⁶ = a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

เราจะเห็นว่าสามารถเขียนแผนภาพเฉพาะสัมประสิทธิ์ของการกระจายทวินาม (a+b)ⁿ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ได้ดังนี้

n=0                                          1

n=1                                      1      1

n=2                                  1      2      1

n=3                              1      3      3      1

n=4                         1      4      6      4      1

n=5                      1      5      10     10     5     1

n=6                 1      6      15     20    15     6      1

แผนภาพนี้เรียกว่า “สามเหลี่ยมของปาสคาล”

จากสามเหลี่ยมปาสคาล ทำให้เราทราบว่า

1. จำนวนแรกและจำนวนสุดท้ายของแต่ะแถมเท่ากับ 1 เสมอ

2. จำนวนใดๆ ในแต่ละแถว เกิดจากการบวกของจำนวน 2 จำนวน ที่อยู่เหนือจำนวนนั้นๆ ไปทางซ้ายและทางขวาของแถวด้านบนที่ติดกัน

3. สามเหลี่ยมปาสคาลมีลักษณะสมมาตร

4. จำนวนทั้งหมดที่อยุ่ในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ n+1 จำนวน

5. ผลบวกของจำนวนทุกจำนวนในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ 2ⁿ

ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem)

จากการพิจารณาสามเหลี่ยมของปาสคาลตามแผนภาพ เราจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ C_{(n, r)} เมื่อ n, r เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ซึ่ง n>r>0 และ C_{(n, r)} = n! / (n-r)! . r! ดังนี้
n=0                                C_{(0, 0)}

n=1                            C_{(1, 0)}  C_{(1, 1)}

n=2                       C_{(2, 0)} C_{(2, 1)}  C_{(2, 2)}

n=3                  C_{(3, 0)} C_{(3, 1)}  C_{(3, 2)} C_{(3, 3)}

n=4             C_{(4, 0)} C_{(4, 1)}  C_{(4, 2)}  C_{(4, 3)} C_{(4, 4)}

n=5        C_{(5, 0)} C_{(5, 1)} C_{(5, 2)} C_{(5, 3)} C_{(5, 4)} C_{(5, 5)}

n=6   C_{(6, 0)} C_{(6, 1)} C_{(6, 2)} C_{(6, 3)} C_{(6, 4)} C_{(6, 5)} C_{(6, 6)}
ดังนั้น สิ่งที่ทราบเพิ่มเติมจากสามเหลี่ยมปาสคาล คือ

(a+b)⁰ = C_{(0, 0)}

(a+b)¹ = aC_{(1, 0)} + bC_{(1, 1)}

(a+b)² = a² C_{(2, 0)} + ab C_{(2, 1)} + b² C_{(2, 2)}

(a+b)³ = a³ C_{(3, 0)} + a²b C_{(3, 1)} + ab² C_{(3, 2)} + b² C_{(3, 3)}

(a+b)⁴ = a⁴ C_{(4, 0)} + a³b C_{(4, 1)} + a²b² C_{(4, 2)} + ab³ C_{(4, 3)} + b⁴ C_{(4, 4)}

(a+b)⁵ = a⁵ C_{(5, 0)} + a⁴b C_{(5, 1)} + a³b² C_{(5, 2)} + a²b³ C_{(5, 3)} + ab⁴ C_{(5, 4)} + b⁵ C_{(5, 5)}

(a+b)ⁿ = aⁿ C_{(n, 0)} + a^(n-1)b C_{(n, 1)} + a^(n-2)b² C_{(n, 2)} + … + a^(n-r)b^r C_{(n, r)} + … + ab^(n-1) C_{(n, n-1)} + bⁿ C_{(n, n)}

จากการกระจายบททวินามข้างต้น จะสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบททวินามได้ ดังนี้

ทฤษฎีบททวินาม

ถ้า a, b เป็นจำนวนจริง และ n, r เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ และ  n>r>0  แล้ว

(a+b)ⁿ = aⁿ + a^(n-1)b C_{(n, 1)} + a^(n-2)b² C_{(n, 2)} + … + a^(n-r)b^r C_{(n, r)} + … + ab^(n-1) C_{(n, n-1)} + bⁿ

และเรียก C_{(n, r)} ว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม

จากทฤษฎีบททวินาม เราจะได้บทสรุปว่า

1. การกระจายทวินาม(a+b)ⁿ แล้วจะได้ n+1 พจน์

2. เนื่องจาก C_{(n, 0)} = C_{(n, n)} = 1 ทำให้ทราบว่า aⁿ C_{(n, 0)} = aⁿ และ bⁿ C_{(n, n)} = bⁿ

3. กำลังของ a เริ่มจาก n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 0 สำหรับกำลังสองของ b เริ่มจาก 0 เพิ่มขึ้นทีละ 1 จนถึง n

4. ผลบวกของกำลังของ a กับ b ในแต่ละพจน์ จะเท่ากับ n เสมอ

5. C_{(n, 0)} + C_{(n, 1)} + C_{(n, 2)} + … + C_{(n, n)} = 2ⁿ

6. (a+b)ⁿ = ผลบวกของ a^(n-r)b^r C_{(n, r)} เมื่อ r มีค่าตั้งแต่ 0-n

7. การหาพจน์และสัมประสิทธิ์ทวินาม ได้เท่ากับ T_r+1 = a^(n-r)b^r C_{(n, r)}

ขอบคุณข้อมูล https://coolaun.com/